무한하게 미분 할 수있는 함수가 ** 한 지점에서 ** 증가하는 경우 간격에서 증가합니까?
기능하자 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 무한히 차별화 할 수있다 $\mathbb{R}$. 존재한다고 가정$\delta>0$ 그런
$0<x<\delta \implies f(a-x)<f(a)<f(a+x)$.
그런 다음 간격을 $I\subset\mathbb{R}$ 모두를 위해 존재 $x,y\in I$
$x<y \implies f(x)<f(y)$ ?
답변
참고 : 무한하게 미분 할 수는 없습니다.
함수 $f(x) = x(2+\sin(1/x)), x \ne 0$, 및 $f(0)=0$ "증가 $0$", 그러나 주위에 어떤 inverval에서 증가하지 않습니다 $0$.
유사하게 사용할 수 있습니다. $x^3(2+\sin(1/x))$ 어디서나 차별화 할 수있는
만약 $f'(y)>0$ 일부 $y$ 그때 $f$ 주변에서 증가하고 있습니다 $y$. 이제$f'(y) \leq 0$ 모든 $y$. 그런 다음 일부$t$, $f(a+x)-f(a-x)=2x f'(t)\leq 0$ 모든 $x >0$. 이것은 가설과 모순됩니다.
(이것은 당신이 $a \in I$)
밝히다 $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ 으로
$$f(x)=\begin{cases} -e^{-1/x^2}\left[2 - \sin \left(\frac{1}{x}\right)\right] & \text{if} & x < 0\\ 0 & \text{if} & x=0\\ e^{-1/x^2}\left[2 - \sin \left(\frac{1}{x}\right)\right] & \text{if} & x < 0\end{cases}$$
그때 $f$ 어디에서나 무한히 차별화 할 수 있습니다. $f$되어 엄격 지점에서 증가 $x=0$ (사실로, $\delta = \infty$ 귀하의 요구 사항) 및 각각에 대해 $\epsilon > 0$ 우리는 $f$ 간격에서 단조롭지 않습니다 $(-\epsilon,\,0)$ 과 $f$ 간격에서 단조롭지 않습니다 $(0,\,\epsilon).$
그것을 보려면 $f$ 엄격하게 증가하고 있습니다 $x=0,$ 참고 $f(x)$ 부정적 일 때 $x<0,$ $f(0)$ 0이고 $f(x)$ 긍정적일 때 $x > 0.$
증명하는 한 가지 방법 $g^{(n)}(0)$ 존재하고 같다 $0$ 모든 양의 정수 $n$여기 에 설명 된 방법 과 유사한 수학적 귀납법에 의한 것입니다. 위 함수의 주요 차이점은 각각$g^{(n)}(x)$ 형태가있다 $e^{-1/x^2}\cdot\left[C_n(x)\cos(1/x) + S_n(x)\sin(1/x)\right]$ 어디 $C_n$ 과 $S_n$ 합리적 기능 $x$ (명시적인 표현이 필요하지 않은 사람).
덧붙여서 나는 Dini의 1878 년 저서에 무한 진동 이있는 Smooth function에 대한 대답에서 준 것과 유사한 예가 있다는 점을 감안할 때 그러한 예를 찾을 수 있다고 생각했지만 1878 년에는 그러한 예를 찾을 수 없었습니다. 도서. 실제 변수 반례에 대한 또 다른 유용한 오래된 참고 자료는 Ernesto Pascal (1895)의 Esercizi e Note Critiche di Calcolo Infinitesimale 이지만 거기에서도 예제를 찾지 못했습니다.
그것이 모든 것을 유지한다면 $a$, 다음 길이 간격 $\delta$할 것입니다.
하나만 유지한다면$a$,하지만 $a$ 구간에 있어야합니다. 그러면 0에서의 도함수가 모두 0 인 것은 어떻습니까? $$sign(x)[\exp(-x^{-4})+\exp(-x^{-2})\sin^2(1/x)]$$