무한히 긴 원통의 평균 곡률은 얼마입니까?

Question

무한히 긴 반경 원통의 평균 곡률을 계산할 수있는 방법을 이해하도록 도와 줄 수 있습니까? $R$? 나는 평균 곡률의 정의를 다음과 같이 알고 있습니다.

$H = \frac{1}{2}(\kappa_1 + \kappa_2)$

어디 $\kappa_i$ 이다 $i$th 주요 곡률. 실린더가 무한히 길기 때문에$\kappa_2 = 0$(축을 따라). 누군가 이것을 확인할 수 있습니까?

그런 다음 반경을 가진 무한히 긴 원통의 평균 곡률 $R$ 단순히

$H = \frac{1}{2R}$

도와 주셔서 감사합니다!

Answer 1

결과가 정확합니다.

원통형 표면에서 점을 지정합니다. 하나의 주 방향이 원통의 축에 수직이라는 것을 스스로 확신해야합니다 (그러나 표면의 점에서 시작). 이 방향을 따라 표면은 반지름이있는 원처럼 보입니다.$R$, 따라서이 방향의 주요 곡률은 $\kappa_1=\frac1R$. 다른 주 방향은 원통 축에 평행하고이 방향을 따라 표면이 직선처럼 보입니다 (로컬 지점 근처).$\kappa_2=0$. 그래서 공식에서$H=\frac12 (\kappa_1+\kappa_2)$ 언급 한 평균 곡률을 얻습니다.

TonyK가 말했듯이 이것은 선택하는 모든 지점에 대해 동일합니다. 그래서 고려한다면$H$ 함수로 표면의 각 점을 실수로 매핑 한 다음 $H$ 원통형 표면의 경우 일정합니다.

보시다시피 평균 곡률은 국부적 속성이므로 원통이 무한히 긴지 여부는 중요하지 않습니다. 고려하는 지점 주변에 표면이 원통 인 경우 해당 지점의 평균 곡률은 다음과 같습니다.$\frac1{2R}$.