뭐가 $\Pr(X + Y < 0)$ 어디 $X \sim U(0,1)$ 과 $Y \sim N(0, 1)$? $X$ 과 $Y$ 독립적이다

Question

이것이 내가 지금까지 시도한 것입니다.

\begin{align} f_X = 1 \\ f_Y = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-0.5y^2) \end{align}

그럼 $Z = X + Y$ 그리고 우리는

\begin{align} f_Z(z) = \int_0^1 f_X(x) f_Y(z - x) \, dx \\ f_Z(z) = \int_0^1 1 \cdot f_Y(z - x) \, dx \\ = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-0.5(x - z)^2) \, dx \end{align}

그래서 \begin{align} Pr(Z \leq 0) = \int_{-\infty}^0 \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-0.5(x-z)^2) \, dx \, dz \\ = \int_{-\infty}^0 \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-0.5x^2) \exp(- 0.5z^2) \exp(0.5xz)\,dx\,dz \\ \end{align}

이것은 평가하는 데 지루한 필수 요소가 될 것 같습니다. 내가 올바른 접근 방식을 취하고 있는지 잘 모르겠습니다. 더 쉬운 방법이 있습니까?

Answer 1

가정 $X,\,Y$ 독립적입니다 :

우리는 $Y$-평균 $Pr(X<-Y)$, 고정 $Y$ 이다 $0$ 만약 $Y\ge0$, $1$ 만약 $Y<-1$ 과 $-Y$그렇지 않으면. 평균은$$\int_{-\infty}^{-1}f_Y(y)dy-\int_{-1}^0yf(y)dy=\Phi(-1)+\tfrac{1-e^{-1/2}}{\sqrt{2\pi}}\approx0.315.$$

Answer 2

X와 Y가 독립적이라고 말하는 것을 피하는 것은 매우 큰 오류입니다. 기록 된대로 연습 문제를 해결할 수 없습니다.

따라서 독립성을 가정 할 때 먼저 $Y<-1$ 항상 사실입니다 $X+Y<0$ 그리고 이것은 확률로 발생합니다 $\Phi(-1)\approx 15.87\%$

나머지는 언제 $Y>-1$ 풀어야 할 적분은

$$\int_{-1}^{0}\phi(y)dy\int_{0}^{-y}dx=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-1}^{0}ye^{-\frac{y^2}{2}}dy=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}[e^{-\frac{y^2}{2}}]_{-1}^{0}=\frac{1-e^{-0.5}}{\sqrt{2\pi}}$$

아래 보라색 영역의 적분입니다.

Answer 3

나는 전체 분포를 도출하는 것이 더 낫다고 생각합니다. $Z=X+Y$CDF에 컨볼 루션 공식 사용. pdf에 convolution을 사용했을 때$$ f_Z(z) = \Phi(z)-\Phi(z-1), -\infty<z<\infty $$통합하기가 매우 어렵 기 때문에 대신 CDF에 convolution을 사용했습니다. 그렇지 않다면$Y \sim R(0,1)$, 다음 $F_Y(y) = P(Y<y) = P(Y<z-x)$, 그 후: $$ F_Y(z-x)= \left\{ \begin{array}{lr} 0 & x>z\\ z-x & 0<z-x<1\\ 1 & x<z-1 \end{array} \right. $$ 그래서 우리는 pdf를 무시할 수 있습니다. $X$ 만약 $ X>z$. 두 번째 경우에는 다음과 같은 경계가 있습니다.$z-1<x<z$및 CDF $Y$ 이다 $z-x$, 세 번째 경우의 CDF $Y$ 이다 $1$, 그래서 우리는 $X$ ...에 대한 $-\infty<x<z-1$. 이후$-\infty <z<\infty$, 우리는 다음 세 가지 사례를 종합했습니다. \begin{align} P(Z<z) &= F_Z(z) = \int_{z-1}^{z}(z-x)\varphi_X(x)dx + \Phi(z-1) \\ &= z(\Phi(z)-\Phi(z-1)) - \int_{z-1}^{z}x\varphi(x)dx + \Phi(z-1), -\infty <z< \infty \end{align} 어디 $\varphi, \Phi$표준 정규 분포의 밀도와 cdf입니다. 연결하여$z=0$결과를 얻습니다. 이 CDF는 의미가 있습니다.$$ \lim_{z \to \pm \infty} z(\Phi(z)-\Phi(z-1)) = 0 \ \ (1)\\ \lim_{z\to \infty} \int_{z-1}^{z}x\varphi(x)dx = 0 \ \ (2)\\ \lim_{z \to \infty} F_Z(z) = 1\\ \lim_{z \to -\infty} F_Z(z) = 0 $$ 여기서 (1)과 (2) 모두 상한과 하한을 설정하여 증명할 수 있습니다. $z$ 과 $x$해당 간격에 대해 제한을 적용합니다. 또한 참고$z-x$항상 긍정적이므로 전체 표현은 항상 긍정적입니다. 이제 미분 wrt를$z$ (표지에주의) $$ f_Z(z) = \Phi(z) - \Phi(z-1), \ -\infty <z< \infty $$ 또한 한계를 확인하십시오.