면이 평행 한 정사각형과 관련된 조합 문제의 해에 대한 설명이 필요합니다.

Question

평면에서 평행 한 변을 가진 유한 한 수의 정사각형을 두십시오. $k+1$ 사각형이 선택되면 $2$그들 사이의 교차 사각형. 사각형을 다음과 같이 그룹화 할 수 있음을 증명하십시오.$2k-1$ 같은 세트의 두 사각형이 교차하도록 설정합니다.

AOPS에서이 문제를 발견했지만 해결책을 이해할 수 없었습니다.

https://artofproblemsolving.com/community/q1h1805602p12209708

이것은 링크입니다. 왜 "와 교차하는 사각형이$ABCD$ 어느 쪽이든 점을 포함 $B$ 또는 포인트 $C$ 또는 둘 다. "(게시물에 대한 마지막 댓글에 적혀있는대로). 제발 계몽 해 주시겠습니까? 아니면 문제가 잘못된 경우 반례로 저를 도와 주시겠습니까? 정말 감사합니다!

https://math.stackexchange.com/questions/3923791/need-counterexample-on-a-combinatorics-problem

Answer 1

AoPS에 제기 된 질문에는 제곱이 모두 합동이라는 추가 가정이 있습니다. 일반성을 잃지 않고 측면 길이를$1$. $ABCD$제공된 솔루션에서 컬렉션의 가장 왼쪽에있는 사각형 중 하나입니다. 왼쪽 하단 모서리에 좌표가 있다고 말합니다.$(x,y)$. 그런 다음 아무 사각형$S$ 교차하는 $ABCD$ 왼쪽 아래 모서리가 있어야합니다. $(u,v)$ 어디 $x\le u\le x+1$ (이후 $ABCD$ 가장 왼쪽 정사각형) $y-1\le v\le y+1$.

다음과 같은 경우 쉽게 보여줄 수 있습니다. $y-1\le v\le y$ 그때 $S$ 포함 $C$; 만약$y\le v\le y+1$ 그때 $S$ 포함 $B$. 그러므로$S$ 항상 다음 중 하나 이상을 포함합니다. $B$ 과 $C$.