명시 적으로 시스템 추적 찾기
우리가 기초를 가진 시스템 A로 구성된 공동 시스템으로 작업하고 있다고 생각하십시오. $|\alpha_j\rangle$ 베이스가있는 시스템 B $|\beta_j\rangle$.
내 노트에서 밀도 연산자는 다음과 같이 표시됩니다.
$$\space\space\rho = \sum_{j,k,l,m} \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle |\alpha_j\rangle |\beta_k\rangle \langle\alpha_l| \langle \beta_m|$$
내 노트에 $$ \rho_{jklm} = \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle $$
또한 A의 추적과 B의 추적에 대한 다음 방정식을 설명합니다. $$\rho_\beta = Tr_\alpha(\rho) = \sum_{l,m}(\sum_{j} \rho_{j,l,j,m}) |\beta_l\rangle \langle\beta_m| $$
$$\rho_\alpha = Tr_\beta(\rho) = \sum_{j,k}(\sum_{l} \rho_{j,l,k,l}) |\alpha_j\rangle \langle\alpha_k| $$
내 주요 질문은 어떻게 작성하겠습니까 $\rho_{j,l,k,l}$ 과 $\rho_{j,l,j,m}$ 내가 얻은 것이 내 책의 실제 예제와 일치하지 않는 것 같아서 상당히 혼란 스럽습니다.
감사
답변
내가 직접한다면 다음과 같이 작성할 것이기 때문입니다. $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\alpha_k\rangle |\beta_l\rangle $ 그러나 내가 본 작업 예제가 다음을 제안하기 때문에 확실하지 않습니다. $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle $.
상태의 텐서 곱에 대한 아이디어를 오해하고있는 것 같으므로 간단히 검토하겠습니다. 허락하다$\mathcal H_A$ 과 $\mathcal H_B$ Hilbert 공간이되고, $\alpha \in \mathcal H_A$ 과 $\beta \in \mathcal H_B$. 텐서 곱$\alpha$ 과 $\beta$ 주문한 쌍입니다 $(\alpha,\beta)$ 다음과 같은 속성이 있습니다.
- $(\alpha,\beta+\gamma)=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma)$ 모든 $\alpha\in\mathcal H_A, \beta,\gamma \in \mathcal H_B$
- $(\alpha+\delta,\beta)=(\alpha,\beta)+(\delta,\beta)$ 모든 $\alpha,\delta \in \mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
- $\lambda (\alpha,\beta) = (\lambda \alpha,\beta) = (\alpha,\lambda \beta)$ 모든 $\lambda \in \mathbb C, \alpha\in\mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
쓰기보다는 $(\alpha,\beta)$ 텐서 곱의 경우 표준 표기법입니다. $\alpha \otimes \beta$.
힐베르트 공간 의 텐서 곱 $\mathcal H_A$ 과 $\mathcal H_B$ 형식의 모든 텐서 곱의 공간입니다. $\alpha\otimes \beta$ 와 $\alpha\in\mathcal H_A$ 과 $\beta \in \mathcal H_B$, 및 이들의 모든 선형 조합 . 이 공간의 내부 제품은
$$\bigg< (\alpha,\beta), (\gamma,\delta)\bigg>_{\mathcal H_A\otimes \mathcal H_B} := \left<\alpha,\gamma\right>_{\mathcal H_A} \cdot \left<\mathcal \beta ,\mathcal \delta\right>_{\mathcal H_B}$$
따라서 요소 $\psi \in \mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ 처럼 보일 수 있습니다
$$\psi= \alpha\otimes \beta + 3\gamma \otimes \delta$$
정의에서 분명합니다. $\alpha$ 과 $\gamma$ 에 속하는 $\mathcal H_A$ 동안 $\beta$ 과 $\delta$ 에 속하는 $\mathcal H_B$. 다시 표준 규칙에 따라 기호를 재사용합니다.$\otimes$ 힐베르트 공간의 텐서 곱을 다음과 같이 나타냅니다. $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$.
Dirac 표기법을 사용하고 싶다면 다음과 같이 작성할 수 있습니다. $|\psi\rangle = |\alpha\rangle \otimes |\beta \rangle$. 해당 브래지어는$\langle \psi| = \langle \alpha| \otimes \langle \beta |$. 우리가$|\phi\rangle = |\gamma\rangle \otimes |\delta \rangle$, 다음
$$\langle \psi|\phi\rangle = \bigg(\langle \alpha| \otimes \langle \beta|\bigg) \bigg( |\gamma \rangle \otimes |\delta \rangle\bigg) = \langle \alpha|\gamma\rangle \cdot \langle \beta|\delta\rangle$$
관례는 브래지어 든 켓이든 상관없이 텐서 제품의 첫 번째 수량은 $\mathcal H_A$ (또는 이중 공간) 두 번째는 $\mathcal H_B$ (또는 이중 공간).
그 모든 말에 너의 표정
$$\rho_{j,l,k,l} = \langle\alpha_j| \langle\beta_l |\rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle$$
오른쪽의 텐서 제품 킷이 잘못된 순서로되어 있기 때문에 이해가되지 않습니다.
우선, 당신이 이해하는 방식이 $\rho_{ijk\ell}$무엇보다도 관습의 문제입니다. 즉, 일부 규칙은 다른 규칙보다 확실히 더 "자연적"입니다.
그것에 대해 생각하는 한 가지 방법은 $\rho$ 복합 공간에서 $\mathcal H\equiv \mathcal X\otimes\mathcal Y$그게 다가 아닙니다. 어떤 공간의 매트릭스 구성 요소입니다. 인덱스를 사용하는 경우$I,J$ 기초의 요소에 레이블을 지정 $\mathcal H$, 행렬 구성 요소를 다음과 같이 작성할 수 있습니다. $$\rho_{I,J}\equiv \langle I|\rho|J\rangle, \qquad |I\rangle,|J\rangle\in\mathcal H.$$ 그러나이 표기법은 다음의 이분 구조를 고려하지 않습니다. $\mathcal H$. 이를 위해 우리는 항상 기초를 찾을 수 있음을 관찰합니다.$\mathcal H$ 그것은 기지에서 지어진 $\mathcal X$ 과 $\mathcal Y$. 따라서 기본 요소에 레이블을 지정할 수 있습니다.$\mathcal H$사용 두 의 대응하는 기본 요소를 나타내는, 인덱스$\mathcal X$ 과 $\mathcal Y$. 즉, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.$$\mathcal H = \mathrm{span}(\{|i,j\rangle\equiv|i\rangle\otimes|j\rangle : \quad |i\rangle\in\mathcal X, \,\,|j\rangle\in\mathcal Y\}).$$ 그런 다음 색인 대신 $I$, 우리는 한 쌍의 인덱스를 사용합니다. $(i,j)$. 매트릭스 요소$\rho$ 그런 다음 $$\rho_{(i,j),(k,\ell)} \equiv \langle i,j|\rho|k,\ell\rangle \equiv (\langle i|\otimes\langle j|)\rho(|k\rangle\otimes |\ell\rangle),$$식을 작성하는 다른 동등한 방법을 포함하고 있습니다. "입력"및 "출력"인덱스를 작성했습니다.$\rho$ 쌍 사용 $(i,j)$ 과 $(k,\ell)$여기에서 인덱스의 다양한 역할을 강조합니다. 간결함을 위해 일반적으로 이렇게하지 않고 다음과 같이 작성합니다.$\rho_{ijk\ell}$ 의미하다 $\rho_{(i,j),(k,\ell)}$.
이제 사용하기로 결정할 수도 있습니다. $\rho_{ijk\ell}$ 같은 의미 $\langle \ell,j|\rho|k,i\rangle$. 그래도 꽤 어색한 표기법입니다.