Nesbitt의 부등식과 유사한 함수의 가능한 모든 값 집합 찾기

Question

허락하다 $x,$ $y,$ $z$양의 실수 여야합니다. 가능한 모든 값의 집합을 찾으십시오.$$f(x,y,z) = \frac{x}{x + y} + \frac{y}{y + z} + \frac{z}{z + x}.$$

이것은 Nesbitt의 불평등과 매우 유사 해 보입니다. 여기서 제가이 문제를 찾아서 조사를했습니다. Nesbitt는 긍정적 인 현실에 대해$a, b, c,$ 그때 $$\displaystyle\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}.$$그러나 문제에 명시된 기능은 Nesbitt를 적용하는 것과 같은 방향이 아니며 유사합니다. 나는 분모를 결합하여 하나의 큰 분수를 형성하고 분모를 지우기 위해 변수를 대체하려고 시도했기 때문에이 문제에 대한 진행에 어려움을 겪고 있습니다. 이 문제를 시작하는 데 도움을 주시면 감사하겠습니다.

Answer 1

나는 생각한다 $1 < f(x,y,z) < 2.$ 사실, 왜냐하면 $$\frac{x}{x+y} \geqslant \frac{x}{x+y+z}.$$ 평등은 다음과 같은 경우에 발생합니다. $x = 0$ 또는 $z = 0.$

따라서 $$f(x,y,z) \geqslant \frac{x+y+z}{x+y+z} = 1.$$ 그러나 $x,y,z$ 양의 실수이므로 $f(x,y,z) > 1.$

다른 $$\frac{x}{x+y} < \frac{x+z}{x+y+z},$$ 에 상응하는 $$\frac{yz}{(x+y)(x+y+z)}\geqslant 0.$$ 평등은 다음과 같은 경우에 발생합니다. $yz=0.$ 그래서 $$f(x,y,z) < \frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2.$$