대답은

$$N = 20 \left(\frac{10^{17} -2}{19}\right) + 2$$

증명

원래 번호를 다음과 같이 씁니다. $$N = a_n 10^n + a_{n-1}10^{n-1} +\ldots + a_0 = \displaystyle \sum_{j=0}^n a_j 10^j$$ 그러면 문제에 설명 된 방정식은 $$ 2 \displaystyle \sum_{j=0}^n a_j 10^j = a_0 10^n + \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j 10^{j-1}$$ 재배치 제공 $$ \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j ((2 \times 10^j) - 10^{j-1}) = a_0 (10^n - 2)$$ 의미하는 것은 $$ 19 \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j 10^{j-1} = a_0 (10^n -2)$$ 이제 왼쪽은 다음으로 나눌 수 있습니다. $19$ 그래서 오른쪽도 있어야하지만 $a_0$ 코 프라임 $19$, 이것은 의미 $10^n - 2$ 나눌 수있다 $19$. 따라서 우리는 가장 작은 힘을 찾고 있습니다.$10$ 일치하는 $2$ 모듈로 $19$.

힘을 통해$10$ 모듈로 $19$ 준다 $10, 5, 12, 6, 3, 11, 15, 17, 18, 9, 14, 7, 13, 16, 8, 4, 2, \ldots$.
따라서 가장 작은 힘$10$ 그 작품은 $10^{17}$. 이것을 방정식에 연결하면$$ \displaystyle \sum_{j=1}^{17} a_j 10^{j-1} = a_0 \frac{10^{17} -2}{19}$$ 분명히 우리는 선택할 수 없습니다 $a_0=1$ 오른쪽에는 너무 적은 숫자가 있지만 선택하면 $a_0=2$ (최소한을 달성하기 위해) 그러면 우리는 $17$-오른쪽에있는 숫자를 선택하고 나머지 $a_j$적절하게 왼쪽에.

이것은 가장 작은$N$ 어떤 작품이되어야 $$N = 20 \left(\frac{10^{17} -2}{19}\right) + 2$$

컴퓨터 점검

컴퓨터로 작업하는 것은 가치가있는 것 같습니다. $N$ 위는 $105263157894736842$ 그리고 이것을 두 배로하면 $210526315789473684$ 그래서 이것은 실제로 작동합니다.

오른쪽에서 왼쪽으로 숫자 이동

답변