Pauli-X의 무한히 많은 제곱근을 취할 수 있습니까?

Question

I는 보조 정리 7.5 Barenco의 연구에 제시된 재발 회로에 기초하여 n 비트 Toffoli 게이트의 비용을 찾기 위해 시도하고있다 ( 양자 연산 초등 게이트 )

구조는 우리가 Pauli X의 제곱근을 반복적으로 취할 것을 요구합니다. 우리가 항상 가능한 한 많이 Pauli X의 제곱근을 취할 수 있다는 증거가 있는지 궁금합니다.

Answer 1

단위 행렬은 분수 거듭 제곱을 포함하여 모든 거듭 제곱으로 올릴 수 있으므로 원하는 모든 근을 찾을 수 있습니다. 행렬을 고유 분해하고 고유 값을 수정 (원하는 거듭 제곱으로 올림) 한 다음 행렬을 다시 모아 근을 찾습니다.

Pauli X 행렬의 경우 고유 벡터는 다음과 같습니다. $|+\rangle\langle +|$ 과 $|-\rangle\langle -|$ 따라서 다음과 같은 뿌리를 찾을 수 있습니다.

$$X^s = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 &1\end{bmatrix} + \frac{e^{i \pi s}}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\end{bmatrix}$$

완료되면 실제 과제는 $X^s$컴퓨터에서 사용할 수있는 게이트 세트를 사용하는 게이트. 예를 들어 Clifford + T 게이트 세트를 사용하는 경우 일련의 H 및 T 게이트를 사용 하여 회전 을 근사화 할 수 있습니다 .

다중 제어 NOT을 수행하는 경우 연결 한 것보다 더 효율적인 비 실라없는 구성이 있습니다. https://algassert.com/circuits/2015/06/22/Using-Quantum-Gates-instead-of-Ancilla-Bits.html