$\pi_1(\text{P}^2(\mathbb{R}))$ 그리고 곱하기 $2$
실제 투영면의 기본 그룹을 계산하고 싶습니다. $\text{P}^2(\mathbb{R})$ SVK 정리를 사용합니다.
이를 위해 저는 $\text{P}^2(\mathbb{R})\simeq D^2/{\sim} $ 단위 디스크로 $\{x:\|x\|\leq 1\}$ 에 $\mathbb{R}^2$ 경계에있는 대족 지점을 식별하여 인용됩니다.
나는
- $A= \text{P}^2(\mathbb{R})-\{y\} $
- $B= \text{P}^2(\mathbb{R})-\partial$, 어디 $\partial=\{x:\|x\|=1\}$
- $A\cap B$
모두 경로 연결되어 있습니다.
자, 포인트를 고쳐 $x_0 \in A\cap B.$
$A$ 변형에 의해 수축 될 수 있습니다. $S^1$, 그래서 $A \approx S^1$ 과 $\pi_1(S^1)\simeq \mathbb{Z}.$ 후퇴 $r_A:A \to S^1$ 동형을 유도 $\pi_1(A,x_0)\simeq\pi_1(S^1,r_A(x_0)) \simeq \mathbb{Z}$ 에 의해 주어진 $[\lambda]_A \mapsto [r_A \circ \lambda]_{S^1}$ 모든 루프에 대해 $\lambda$ 에 $A.$
내가 전화하면 $c$ 에 해당하는 루프 $1 \in \mathbb{Z}$ 동 형사상에서 나는 평등을 가지고 $\pi_1(S^1,r_A(x_0)) = \langle c | \emptyset \rangle $; 변형, 경로 제공$h :t \mapsto h(t)=H(x_0,t)$ ...에서 $x_0$ ...에 $r(x_0),$ 또한 프레젠테이션을 제공합니다 $\pi_1(A, x_0) = \langle hch^{-1},\emptyset \rangle $, 이제 생성기를 엔드 포인트가있는 루프로 볼 수 있습니다. $x_0$ 대신에 $r(x_0).$
반면에 $B$ 계약 될 수 있습니다 $\{x_0\},$ 그래서 $$\pi_1(B,x_0) \simeq \pi_1(\{x_0\},x_0)=\{x_0\} \simeq \{\text{id}\}= \langle \emptyset | \emptyset \rangle.$$
마지막으로 다른 원 선택 $S^1_{x_0}$ 통과 $x_0$, 나는 철회한다 $A \cap B$ 그것에 $$\pi_1(A\cap B, x_0)\simeq \pi_1(S^1_{x_0},x_0)= \langle \gamma| \emptyset \rangle.$$
포함 $A \cap B \subset B$ 형태를 유도 $b_*:\pi_1(A\cap B,x_0) \to \pi_1(B,x_0)$ 모든 것을 상수 경로로 보내는 사소한지도 일 수 있습니다. $x_0.$
다음으로 포함 $A \cap B \subset A$ 그룹의 형태를 유도 $a_*:\pi_1(A\cap B,x_0) \to \pi_1(A,x_0)$ 주어진 $[\ell]_{A\cap B} \mapsto [\ell]_A$ 모든 루프에 대해 $\ell$ 에 $A \cap B$ 끝점 포함 $x_0.$
지도가 증명하는 방법을 이해하고 싶습니다. $a_*$ 위에 정의 된대로 2의 곱셈이어야합니다. $- \cdot 2: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$
답변
형태 $a_*$ 반복하다 $[\ell]_{A\cap B}=\gamma^n \in \pi_1(A\cap B,x_0)$ 해당 루프로 보냅니다. $\pi_1(A,x_0),$ 지도는 포함에 의해 유도되기 때문에 $[\ell]_A$, (즉 $\ell$ 모듈로 호모 토피 $A$).
이제 우리는 $[\ell]_A$ 내부 $\pi_1(S^1,r_A(x_0))$ 동형을 통해 $[\ell]_A \mapsto [r_A \circ \ell]_{S^1}$, 그리고 우리는 $[r_A \circ \ell]_{S^1}=c^{2n},$ 왜냐하면 경계에서 대족 지점이 확인되기 때문입니다. 그래서 우리는 외부 원을 두 번 $[r_A \circ \ell (1/2)]=[-r(x_0)]=[r(x_0)]$ (여기서 등가 클래스는 $S^1$).
다시 당겨 $\pi_1(A,x_0)$ 우리는 얻는다 $[\ell]_A=[hc^{2n}h^{-1}=(hch^{-1})^{2n}]_A$ 그리고 우리는 결론을 내립니다.
허락하다 $i:S^1\to D^2$ 경계를 포함하고 $p:D^2\to P^2(\mathbb R)$ 표준 투영입니다.
특히, $p\circ i: S^1\to P^2(\mathbb R)$ 통해 요인 $\partial$ (따라서 $A$, 그러나 포함 $\partial \to A$호모 토피 동등성 임); 전화하자$\alpha :S^1\to\partial$ 우리가 얻는지도.
우리는 알고 있습니다 $\partial \cong S^1$, 그래서지도는 무엇입니까 $\alpha_* : \mathbb Z\to \mathbb Z$ ?
다음과 같은 교환 다이어그램이 있습니다.
$\require{AMScd}\begin{CD}S^1@>>> S^2 \\ @VVV @VVV \\ \partial @>>> P^2(\mathbb R)\end{CD}$
어디지도 $\partial \to P^2(\mathbb R)$포함입니다. 우리가 확인하면$\partial \cong S^1$, 지도 $S^1\to S^1$ 단순히 $z\mapsto z^2$: 그것은 당신이 만들 수있는 명시적인 계산입니다. 실제로 정의하는 것이 더 쉬울 것입니다.$\partial$ 그런 식으로 똑같은 것을 얻는 지 확인하십시오.
그것이 당신에게 명확하지 않은 요점일지도 모르니, 그래도 그렇지 않다면 주저하지 말고 말씀해주십시오.
특히, $\alpha_*=$ 곱하기 $2$.
그러나 또한 $i$ 다음을 포함하는 것과 동종입니다. $S^1$ 더 작은 원에서 $D^2$, 따라서 $p\circ i$ 동종성에 동종이다 $S^1\to S^1_{x_0}$.
따라서 다음과 같은 동질성 교환 다이어그램이 있습니다.
$\begin{CD} S^1 @>>> S^1_{x_0} @>\simeq>> A\cap B \\ @V=VV & & @VVV \\ S^1 @>>> \partial @>\simeq>> A \end{CD}$
취득 $\pi_1$, 이후 $\pi_1(S^1)\to \pi_1(S^1_{x_0})$ 동형이고 $\pi_1(S^1)\to \pi_1(\partial)$ 곱하기 $2$, 우리는 마침내 그것을 얻습니다 $\pi_1(A\cap B)\to \pi_1(A)$ 곱하기 $2$.
(기술적으로 기준점에 대해 걱정해야 할 수도 있습니다. 여기에는이 문제를 처리하는 데 최소한 두 가지 방법이 있습니다. 1- 관련된 모든 기본 그룹이 아벨이므로 아무것도 변경하지 않습니다. 또는 2- 동일한 추론을 수행합니다. 하지만 근본적인 groupoids로, 그리고 결국에는 패치를 적용합니다)
기본 아이디어는 다음과 같습니다. 당신과 비슷한 증명을 할 것이라고 생각하니 참아주세요.
당신이했던 것처럼, 투영 평면을 고려하십시오 $X$ 그리고 요점을 $x_0$그것에. 그때$U = X\smallsetminus x_0$ 변형은 구로 후퇴합니다.
작은 공을 $V$ 주위에 $x_0$, 그래서 $V\cap U$ 또한 변형은 구체로 후퇴합니다.
이제 $V\cap U$, 경계 지점을 식별하지 못했지만 $U$, 경계 구에서이를 식별합니다. 이것은 교환 다이어그램을 형성 할 수있는 다음과 같은 결과를 가져옵니다.
$$\require{AMScd} \begin{CD} U\cap V @>{\pi}>> S^1\\ @VVV @VVV \\ U @>{\pi}>>S^1 \end{CD}$$
수직지도가 각도 인 곳 $2$. 기본적으로 생성 루프를$U\cap V$그 바람에 한 번 바람됩니다 하나의 경계 주위 배 주위의 경계를$U$, 거기에서 당신은 대척 점을 식별했을 것입니다.
더하다. 더 정확하고 싶다면 생성 루프가$U$ 반달을 그리는 단위 디스크의 루프로 간주 할 수 있습니다. $-1$ ...에 $1$ 원점이 누락 된 거의 직선에서 원호를 통과합니다. 이렇게하면 생성 루프가 $U\cap V$ 이전 루프의 두 배를 나타냅니다. $U$.