Polyakov의 3D Compact QED에서 Flux의 양자화
그의 저서 "Gauge Fields and Strings"에서 Polyakov는 3D 유클리드 공간의 입방 격자에 콤팩트 QED를 다음과 같이 소개합니다. $$ S\left[ \left\{ A_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}}\right\} \right]=\frac{1}{2g^2}\sum_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha},\mathbf{\beta}}(1-\cos{F_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}\mathbf{\beta}}}) $$
어디 $F$ 격자 벡터에 걸쳐있는 플 라켓을 통과하는 순 플럭스입니다. $\mathbf{\alpha}$ 과 $\beta$ 지점에서 $\mathbf{r}$ 다음에 의해 주어집니다. $$ F_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}\mathbf{\beta}}=A_{r,\alpha}+A_{r+\alpha,\beta}-A_{r,\beta}-A_{r+\beta,\alpha}$$ 직관적으로 컬입니다 $A$플 라켓 주위. 게이지 변환은 다음과 같이 정의됩니다.$$ A_{r,\alpha}\to A_{r,\alpha}-\phi_{r}+\phi_{r+\alpha} $$행동은 변하지 않습니다. 한 가지 분명한 결과는 닫힌 가우스 표면을 통과하는 총 플럭스가 0이라는 것입니다. 이는 다음과 같은 이유로 사실입니다.$$\sum_{p\in cube} F_p=0$$각 링크의 각 게이지 필드는 위의 합계에서 다른 기호로 두 번 나타납니다. 따라서 큐브의 5 개면을 통과하는 플럭스가 동일한 부호를 갖는 반면 한면은 총 플럭스가 0으로 유지되도록 음의 부호가있는 순 플럭스를 갖는다 고 가정하여 구축 할 수있는 Dirac 모노폴을 제외하고는이 시스템에서 모노폴을 가질 수 없습니다. .
그러나 그 (Polyakov)는이 플럭스 (입방체의 한 면만 통과하는)가 양자화되었다고 말합니다. 나는 이것을 증명하는 방법을 모른다. 단일 게이지 변환이 필요한 것 같고 ( 't Hooft의 논문에 따르면) 게이지 필드를 다른 (아마 중요) 필드에 연결해야하지만 격자 모델에서 해당 변환을 구현하는 방법을 찾을 수 없습니다. 우리가 왜 커플을해야하는지 물어볼 수도 있습니다$A$다른 자유도. 이 점은 여기에서도 언급됩니다.https://physics.stackexchange.com/a/202806/90744 증거없이 다시.
이 책은 원래의 행동과 동등하다고 주장되는 또 다른 행동을 사용합니다. $$ S=\frac{1}{4g^2}\sum_{r,\alpha,\beta}(F_{r,\alpha \beta}- 2\pi n_{r,\alpha \beta})^2 $$ 어디 $n$정수 값 필드입니다. 일반적으로이 작업은 원래 작업과 동일하지 않습니다. 왜냐하면 여기서 우리는 비 주기성으로부터의 편차를 허용하기 때문입니다.$A$ 기여할 수 있으므로 우리는 $g$ 한도.
답변
글쎄, 질문에 관해서는 스톡스 정리의 이산 버전에서 따를 것입니다. 0이 아닌 플럭스의 경우 큐브를 관통하는 큐브를 고려하면 게이지 전위를 전역 적으로 할당 할 수 없습니다.$A_\mu$, 특정 차트에서 로컬로만. 큐브를 적어도 적도에서 겹치는 두 개의 차트로 나눕니다.
북반구와 남반구. 스톡스 정리에 따르면 옅은 빨간색 표면을 통과하는 플럭스는$A_\mu$ 적도 주변 : $$ \int_{U_N} F d S= \sum_{i \in s} F_i S_i = \oint A_\mu dx^{\mu} = \sum_{i \in l} A_i l_i $$ 어디 $s$ -차트의 모든 표면을 나타냅니다. $l$ -적도의 선분 $S_i$ -표면적, $l_i$-세그먼트의 길이. 적분 대 적분에서 Stokes의 정리에서 다음을 통합하도록 선택할 수 있습니다.$U_N$ 과 $U_S$, 물리적 관점에서 볼 때 결과는 표면 선택에 의존해서는 안됩니다.
점 입자에 대한 동작의 전자기 부분은 다음과 같습니다. $$ S = \oint A_\mu d x^{\mu} $$ 점 입자에 대한 동작은 다음과 같이 경로 적분으로 들어갑니다. $e^{i S}$ 따라서 $e^{i S}$ 단일 값이 되려면 북반구 및 남반구의 플럭스가 다음 조건을 충족해야합니다. $$ \int _{U_N} F = - \int _{U_S} F + 2 \pi n \qquad n \in \mathbb{Z} \qquad \Rightarrow \qquad \int _{U_N \cup U_S} F = 2 \pi n $$
이 논리는 엄격하지 않지만 직관을 제공 할 수 있습니다. 주목할 수있는 또 다른 요점은 모노폴이 고전적인 솔루션이라는 것입니다. 동작 기능의 최소값이며 동작에서 다음과 같은 것을 볼 수 있습니다.$$ \cos F_{r, \alpha \beta} = 1 \Rightarrow F_{r, \alpha \beta} = 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} $$ 따라서 모든면에 대한 합계는 양자화됩니다.
게시물 끝에 작성한 작업은 게이지 필드의 변동이 최소값에 가깝다고 가정하는 원래 작업의 악당 또는 가우스 근사치입니다.$F_{r, \alpha \beta} = 2 \pi n$, 코사인을 2 차로 확장하여 얻을 수 있습니다. $$ 1 - \cos F_{r, \alpha \beta} = \frac{1}{2} (F_{r, \alpha \beta} - 2 \pi n_{r, \alpha \beta})^2 $$