평가 $\int_{1}^{\infty}$ $\frac{1-(x-[x])}{x^{2-\sigma}}$dx 여기서 [x]는 최대 정수 함수를 나타내고 $0<\sigma<1$

Aug 21 2020

평가$\int_{1}^{\infty}$ $\frac{1-(x-[x])}{x^{2-\sigma}}$dx 여기서 [x]는 최대 정수 함수를 나타내고 $0<\sigma<1$.

내 시도 :-1- (x- [x])$\leq 1 \Rightarrow$ $\int_{1}^{\infty}$ $\frac{1-(x-[x])}{x^{2-\sigma}}$dx $\leq$ $\int_{1}^{\infty}$ $\frac {1}{x^{2-\sigma}}$dx = $\frac{1}{1-\sigma}$

$\int_{1}^{\infty}$ $\frac{1-(x-[x])}{x^{2-\sigma}}$dx = $\int_{1}^{2}$ $\frac{1-(x-1)}{x^{2-\sigma}}$dx +$\int_{2}^{3}$ $\frac{1-(x-2)}{x^{2-\sigma}}$dx + ... 그러나 통합에서는 유한 한 값을 얻지 못합니다.

답변

2 ClaudeLeibovici Aug 21 2020 at 08:27

당신의 길을 계속하려고 노력합니다.

당신은 썼다 $$\int_1^\infty(1-x+\lfloor x\rfloor )\, x^{\sigma -2}\,dx=\sum_{n=1}^\infty \int_n^{n+1}(n+1-x)\,x^{\sigma -2}\,dx=\sum_{n=1}^\infty I_n$$ $$I_n=\int_n^{n+1}(n+1-x)\,x^{\sigma -2}\,dx=\frac{ (n+\sigma )n^{\sigma }-n (n+1)^{\sigma }}{n (1-\sigma) \sigma }=\frac{n^{\sigma -1} (n+\sigma )-(n+1)^{\sigma } } {(1-\sigma)\, \sigma }$$ 제타 함수에 익숙하지 않으면 여기서 문제가 어려워지기 시작합니다.

당신이 있기를 바라는 결과는 $$\frac{1+\sigma\, \zeta (1-\sigma ) } {(1-\sigma) \,\sigma }$$

1 Math1000 Aug 21 2020 at 08:56

이것은 완전한 대답은 아니지만 몇 가지 통찰력을 제공 할 것입니다.

허락하다 $f(x) = \frac{1-(x-\lfloor x\rfloor)}{x^{2-\sigma}}$, 다음으로 $0\leqslant x-\lfloor x\rfloor<1$$x^{2-\sigma}>0$, $f$ 음이 아님 $[1,\infty)$. 따라서 Tonelli의 정리에 따르면$$ \int_1^\infty f(x)\ \mathsf dx = \int_1^\infty \sum_{n=1}^\infty f_n(x)\ \mathsf dx = \sum_{n=1}^\infty \int_n^{n+1} f_n(x)\ \mathsf dx, $$ 어디 $f_n(x) = f(x)\cdot\mathsf 1_{[n,n+1)}$. 귀납법 (까다로운 부분)을 통해$$ \int_n^{n+1} f_n(x)\ \mathsf dx = \frac{n^{\sigma -1} (n+\sigma )-(n+1)^{\sigma }}{\sigma(1-\sigma)}. $$ 그 후 $$ \int_1^\infty f(x)\ \mathsf dx = \frac{1+\sigma\, \zeta (1-\sigma ) } {(1-\sigma) \,\sigma }, $$ 어디 $$ \zeta(s) := \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^s} $$ 리만 제타 함수입니다.