편미분 방정식의 특정 솔루션

Aug 18 2020

이 문제를 해결하는 데 도움이 필요합니다.

미분 방정식의 특정 솔루션 찾기 $$u_y = (5x + 2)u$$ 데이터를 만족하는 $u(x, x^2) = x^3$.

나는 보통 특성 방정식을 찾으려고하지만 $u_y$ 여기.

답변

YiorgosS.Smyrlis Aug 18 2020 at 15:00

적절한 적분 인자를 사용하여를 ODE로 취급합니다. $$ u_y(x,y)=(5x+2)u(x,y)\quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{e}^{-(5x+2)y} u_y(x,y)-\mathrm{e}^{-(5x+2)y}(5x+2)u(x,y)=0 \\ \quad\Longleftrightarrow\quad\frac{\partial}{\partial y}\left(\mathrm{e}^{-(5x+2)y}u(x,y)\right)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{e}^{-(5x+2)y}u(x,y)=f(x) $$ 일부 기능 $f(x)$ 찾을 수 있습니다.

그 후 $$ u(x,y)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}f(x). $$ 지금, $u(x,x^2)=x^3$, 제공합니다 $$ x^3=u(x,x^2)=\mathrm{e}^{(5x+2)x^2}f(x) $$ 따라서 $$ f(x)=\mathrm{e}^{-(5x+2)x^2}x^3 $$ 전부 $$ u(x,y)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}f(x)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}\mathrm{e}^{-(5x+2)x^2}x^3= \mathrm{e}^{(5x+2)(y-x^2)}x^3. $$