표현 간의 대응 $SL(2,\mathbb{C})$ 그리고 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$

Question

거짓말 그룹을 위해 $SL(2,\mathbb{C})$ 정의 된 표현을 고려하십시오

$\begin{equation}\Pi_1:SL(2,\mathbb{C})\to GL(2,\mathbb{C}), A\mapsto A\end{equation}$

과

$\begin{equation}\Pi_2:SL(2,\mathbb{C})\to GL(2,\mathbb{C}), A\mapsto A^*\end{equation}$

어디 $A^*$ 요소 별 복합물은 $A$. 내가 아는 한 그것들은 모두 비 환원적이고 동형이 아닙니다.

반면에 두 표현은 모두 고유 한 거짓말 알 베라 표현에 해당합니다. $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 차원 2의 $\pi_1,\pi_2$. 이제 거짓말 알 베라 표현이 하나뿐입니다.$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 차원 2, 동형까지.

그 후 $\pi_1\cong \pi_2$. 또 다른 정리는$\pi_1$ 과 $\pi_2$ 다음과 같은 경우에만 $\Pi_1$ 과 $\Pi_2$ 동형입니다.

그러나 $\Pi_1 \not\cong \Pi_2$.

내 질문은 정확히 실수가 어디에 있는지입니다. 나는 명백한 것을 놓치고 있습니까? 어떤 단계가 잘못되었으며 그 이유는 무엇입니까?

Answer 1

실제로 차별화한다면 $\Pi_2$복잡한 표현을 얻지 못한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, 따라서 그러한 표현을 분류하여 인용 한 정리는 적용되지 않습니다. Moishe가 의견에서 말했듯이 수정은 홀로 모픽 표현만을 고려하는 것입니다.$\Pi_2$ 아니다.