RH와 유사한 가정하에 PNT에 오류 바인딩
강의 노트에는 제가 고투하는 연습이있었습니다. 여기,$\psi$Chebychev 함수를 나타냅니다 . 나는 그것을 가정했다$$\psi(x)-x\in o(x^{1-\varepsilon})$$ 일부 $0<\varepsilon<1/2$ (이것은 Riemann Hypothesis의 덜 강력한 버전에서 비롯된 것입니다. $\{\sigma>c\}$). 부분 별 요약을 사용하여$$\pi(x)=\frac{\psi(x)}{\log(x)}+\int_2^x\frac{\psi(t)}{t\log^2(t)}\text{d}t,$$ 그것을 증명할 수있게 해준 $$\pi(x)-\text{Li}(x)\in O(x^{1-\varepsilon}).$$
이제 나머지 연습에서는 다음 사항을 증명해야합니다. $$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\notin o(x^{1-\delta})$$ 어떠한 것도 $\delta>0$ (이것은 $\text{Li}(x)$ 더 나은 근사치입니다 $\pi(x)$ 단순히 $\frac{x}{\log(x)}$). 이것을 증명하는 방법?
내가 그 반대를 가정한다면, $$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\in o(x^{1-\delta})$$ 일부 $\delta>0$, 그러면 어떤 모순을 받아야할지 모르겠습니다.
나는 고전적인 불평등을 시도했다. $$\pi(x)\log(x)\geqslant\psi(x)\geqslant\sum_{x^{1-\eta}\leqslant p\leqslant x}\log(p)=(1-\eta)[\pi(x)+O(x^{1-\eta})]\log(x),$$그러나 그것이 나를 어디로 든 이끌고 있는지 의심합니다. 누구든지 힌트 / 아이디어가 있습니까? 연습은 퀴즈 외에는 아무것도주지 않습니다 .
답변
당신이 증명 한 것을 바탕으로 우리는 $$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) - \frac{x}{{\log x}} + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }). $$ 이제 부분 별 통합을 사용하여 표시 할 수 있습니다. $$ \operatorname{Li}(x) = \frac{x}{{\log x}} + \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right). $$ 따라서, $$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) \notin o(x^{1 - \delta }). $$