Riemann-Stieltjes 정리에 대한 반대 예제

Question

가정 $f$ 에 boounded $[a,b]$, $f$ 유한하게 많은 불연속 지점이 있습니다. $[a,b]$ 과 $ \alpha $모든 불연속 지점에서 연속적입니다. 그때$f \in \Re(\alpha)$

어떤 예가 있습니까? $f$ 에 묶여있다 $[a,b]$ 및 불연속 $ x=c \in $[a, b], $ \alpha(x) $ 불연속 $ x=c $ 뿐만 아니라 $ f \in \Re(\alpha)$?

Answer 1

적분과 적분기가 모두 불 연속적이지만 Riemann-Stieltjes 적분이 존재하는 예는 다음과 같습니다.$$f(x) = \begin{cases}0, & a \leqslant x < c \\ 1, & c \leqslant x \leqslant b \end{cases}\quad \alpha(x) = \begin{cases}0, & a \leqslant x \leqslant c \\ 1, & c < x \leqslant b \end{cases}$$

하위 간격이있는 파티션의 경우 $I_c =[c,c+\delta]$ 우리는 상한 및 하한 Darboux-Stieltjes 합계가 다음과 같습니다. $1$ 이후 $\sup_{x\in I_c} f(x) = \inf_{x \in I_c} f(x) = 1$ 과 $\alpha(c+\delta) - \alpha(c) = 1$. 이것은$f \in \mathcal{R}(\alpha)$ 이후로 $\epsilon > 0$ 그런 파티션이 있습니다 $U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \epsilon$.