삼각법에서 방정식 풀기

Question

다음 삼각 방정식을 풀려고 합니다.$$\frac{\cot\theta+\csc\theta}{\tan\theta+\sec\theta}=\cot(\pi/4+\theta/2)\cot \theta/2$$하지만 불행히도 많은 노력을 기울인 후에 문제를 해결할 수 없었습니다. 몇 가지 명백한 단계를 놓치고 문제가 엉망이 된 것 같습니다. 그러나 나는 내 잘못을 지적 할 수 없었습니다. 또한 해결하려고했습니다. RHS에서 시작했지만 거기에서도 실패했습니다.

누군가가 나를 도와준다면 나는 매우 감사할 것이다.

Answer 1

$$\frac{\cot \theta+\csc \theta}{\tan \theta+ \sec \theta}= \frac{1+\cos \theta}{1+\sin \theta}~\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$ $$=\frac{2\cos^2(\theta/2)}{[\sin(\theta/2)+\cos(\theta/2)]^2}\frac{\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2)}{2\sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}=\cot(\theta/2) \frac{\cos (\theta/2)-\sin(\theta/2)}{\cos (\theta/2)+\sin(\theta/2)}$$ $$=\cot(\theta/2) \frac{1-\tan(\theta/2)}{1+\tan(\theta/2)}=\cot(\theta/2) \tan(\pi/4-\theta/2)=\cot(\theta/2) \cot(\pi/4+\theta/2).$$사용$\tan(\pi/2-z)=\cot z$.

Answer 2

허락하다$c=\cot\dfrac\theta2$

Weierstrass 대입 사용

$$\tan\theta=\cdots=\dfrac{2c}{c^2-1}$$

$$\sin\theta=\cdots=\dfrac{2c}{c^2+1}$$

$$\cos\theta=\cdots=\dfrac{c^2-1}{c^2+1}$$

만약에$c\ne0,$

LHS$=\dfrac{\dfrac{c^2-1}{2c}+\dfrac{c^2+1}{2c}}{\dfrac{2c}{c^2-1}+\dfrac{c^2+1}{c^2-1}}=\dfrac{c(c^2-1)}{(c+1)^2}=c\cdot\dfrac{c-1}{c+1}$만약$c+1\ne0$

마지막으로 사용 증명$\cot(A+B)=\frac{\cot A\cot B-1}{\cot A+\cot B}$