Schur 기능 측면에서 특정 확장

Question

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행 및 열 순열과 관련된 Schur 긍정 성 추측

작성자 : Richard Stanley (Sam Hopkins에게 알려 주셔서 감사합니다).

젊은 하위 그룹을 고려하십시오 $S_{\lambda}$ 대칭 그룹의 $S_n$, 일부 정수 파티션에 해당 $\lambda$ 의 $n$. 허락하다$\tau$ 일부 순열이고 대칭 함수를 정의하십시오.

$$ F(\tau)=\sum_{\sigma\in S_{\lambda}}p_{c(\tau\sigma)} $$ 어디 $p_{\mu}$ 일반적인 멱합 대칭 함수이고 $c(\rho)$ 순열의 순환 유형에 의해 주어진 정수 분할을 나타냅니다. $\rho$.

Q : Schur 함수 확장에 대해 알려진 것$F(\tau)$, 이중 코셋 클래스가 주어지면 $\tau$ Young 하위 그룹을 위해?

Answer 1

한 가지 사실은 $F(\tau)$ Schur는 $\tau\in S_\lambda$. 보다 일반적으로$K$ 하위 그룹의 코셋 (왼쪽 또는 오른쪽)입니다. $G$ 의 $S_n$, 다음 $\sum_{\sigma\in K}p_{c(\sigma)}$ Schur는 $K=G$. "if"부분에 대해 알려진 유일한 증거에는 표현 이론이 필요합니다. 참조 열거 조합론 , 권. 2, 396 페이지. "only if"부분의 경우 0이 아닌 선형 조합이$\sum_{\lambda\vdash n} a_\lambda p_\lambda$ 전력 합계의 수는 Schur 양수이면 $a_{1^n}>0$.