SD 비 환원 YM 연결의 모듈 리 공간에 대한 Atiyah의 증명
"4 차원 리만 기하학의 자기 이중성"(1978) 논문에서 Atiyah, Hitchin 및 Singer는 자기 이중 축소 불가능한 Yang-Mills 연결 공간이 Hausdorff 매니 폴드라는 증거를 제시합니다. 설정하면 치수는 $$p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi(M)-\tau(M))$$ 어디 $\chi(M)$ 오일러 특성이고 $\tau(M)$ 서명.
편집 : 원본 종이에 오류 / 오타가 포함 된 것으로 밝혀졌습니다. 실제로는$$2p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi(M)-\tau(M))$$ 편집 끝.
논문 전체를 이해하고 싶지만 아직 그렇게 할 수있는 위치에 있지는 않습니다. 저는 Atiyah의 일부 응용에 관심이 있기 때문에이 차원의 계산 만 이해하려고합니다. 가수 지수 정리.
이 차원을 계산하기 위해 논문에서 다음이 사용됩니다.$D:\Gamma(V_-\otimes E)\to\Gamma(V_+\otimes E)$ 일부 보조 번들에 값이있는 스피너 번들에 대한 Dirac 연산자 $E$. 인덱스 정리에 따르면$$\text{ind}(D)=\int_M\text{ch}(E)\widehat{A}(M)$$ 차원 4에서 우리는 $\widehat{A}(M)=1-\frac{1}{24}p_1(M)$(그러나 이것은 어디에 사용됩니까?). 증거를 위해 우리는$E=V_-\otimes\text{Ad}(P)$. 그때$\text{ch}(E)=\text{ch}(\text{Ad}(P))\text{ch}(V_-)$. 여태까지는 그런대로 잘됐다. 다음 계산에서 추적을 잃습니다.$$\text{ind}(D)=\int_M\text{ch}(\text{Ad}(P))\text{ch}(V_-)\widehat{A}(M)\\ \color{red}{=p_1(\text{Ad}(P))+\dim G(\text{ind}(D'))}=\\ p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi-\tau)$$ 어디 $D':\Gamma(V_+\otimes V_-)\to\Gamma(V_-\otimes V_-)$. 나는 방정식의 붉은 색 부분을 설명하는 결과를 찾으려고 노력했습니다.이 단계는 완전히 사소하지 않은 것 같고, 그럼에도 불구하고 논문 내에서 전혀 정교화되지 않았기 때문에 나는 할 수 없습니다. 이 단계를 설명하는 출처를 찾으십시오. 에 디랙 연산자와 번들 대칭 제품의 비틀림 Chern은 문자의 색인 허용 대답이 결과는 매우 특별한 경우에 얻을하는 방법을 설명하는 방향으로 어떤 길을 간다 답을 줄 것으로 보인다. 그러나 저는이 분야에 대한 경험이 많지 않으며 결과를 임의의 원칙으로 일반화하는 방법을 모릅니다.$G$-묶음. 누군가가 자신의 답변이나 참조를 제공 할 수 있는지 여부에 대해 위의 설명을 찾고 있습니다. 어느 쪽이든 대단히 감사하겠습니다.
답변
잘 기억이나요. 나의 고문은이 계산을 몇 년 전부터 생각하고 싶지도 않다고 설명했습니다.
SD 방정식의 복잡한 변형은 다음과 같습니다. $\DeclareMathOperator{\Ad}{Ad}$
$$L=d_A^-\oplus d_A^*:\Omega^1\big(\, \Ad(P)\,\big)\to\Omega^2_-\big(\; \Ad(P)\;\big)\oplus \Omega^0\big(\;\Ad(P)\;\big). $$
자체 이중 연결 모듈 리 공간의 차원이이 연산자의 인덱스입니다. $\DeclareMathOperator{\ind}{ind}$ $\DeclareMathOperator{\ch}{ch}$ $\DeclareMathOperator{\hA}{\widehat{A}}$이 연산자는 $\Ad(P)$ 운영자
$$ D=d^-+d^*:\Omega^1(M)\to \Omega^2_-(M)\oplus \Omega^0(M) $$
운영자입니다 $D: \Gamma(V_+\oplus V_-)\to \Gamma(V_-\oplus V_-)$ 당신이 언급 한 논문에서.
Atiyah-Singer 지수 이론은 $\ind L$ 이다
$$\ind L= \int_M \big[\; \ch(\Ad(P)) \hA(X)\ch(V_-)\;\big]_4, $$
어디 $[--]_4$ 정도를 나타냅니다 $4$ 비균질 차동 형식의 일부입니다.
우리는 추론한다
$$\ch(\Ad(P))=\dim G +\ch_2(\Ad(P))+\cdots = \dim G+p_1(\Ad(P))+\cdots, $$
$$\ind L= \int_M \big(\; p_1(\Ad(P))+(\dim G)\rho_D\;\big) $$
어디 학위 $4$ ...에서 $\rho_D= [\hA(X)\ch(V_-)]_4$ 인덱스 밀도 $D$ Atiyah-Singer 지수 정리에 등장 $$ \ind D=\int_M \rho_D. $$
그러므로
$$ \ind L=\int_M p_1(\Ad(P))+\dim G\ind D= \int_M p_1(\Ad(P))+\dim G(b_1 -b_2^--b_0). $$
이제 표현 $(b_1-b_2^--b_0)$ 서명 측면에서 $\tau=b_2^+-b_2^-$ 오일러 특성 $\chi=2b_0-2b_1+b_2^++b_2^-$.