설명 및 간단한 산란 계산을위한 원자 격자 "머핀-주석"잠재력에 대한 분석적 표현

Dec 03 2020

결정 표면에서 20 ~ 200 eV 전자의 회절을 계산하기 위해 심층 분석 (아래 링크 된 질문 참조)을 시작하기 전에 대략적인 몇 가지 간단한 분석 근사치로부터 간단한 "머핀-주석 전위"(아래 참조)를 생성하고 싶습니다. 입사 전자가 결정에 배열 된 중간 크기의 원자 (수소 << 원자 << 우라늄)를 통과하는 것처럼 느낄 수있는 정전기 전위로 계산 될 수있는 것과 일치합니다.

이것으로 위상 이동과 각도 분포를 계산하는 방법을 배울 수 있습니다.

Wikipedia의 Muffin-tin 근사치 는 이것에 대해 이야기하지만 손에서 벗어난 방정식을 제공하지 않습니다.

0 차 근사값은 핵 양의 점 전하와 음전하의 균일 한 구형이 될 것입니다. 저는 확실히 그것으로 시작할 수 있습니다. 배제 원칙에 기반한 모호한 균일 성 주장으로. 이 맥락에서 원자 사이에는 5 ~ 15eV의 평평한 "내부 전위"가 종종 가정됩니다. 작은 거리에서는 핵 근처에서 무한대로 이동하기 때문에 평평해야합니다.

질문 : 하지만 사용 가능한 것보다 더 나은 근사치가 있습니까?

유니폼으로 만든 "원 머핀 주석"을 통한 단면 $r = 1$전자 구와 점핵, 바닥이 임의로 평평 해집니다. 이것들은 각 원자의 위치에있는 공간에 배열되고 일정한 전위가 그들 사이의 공간을 채울 것입니다.

백그라운드 전용 장기 목표 :

일관된 동적 저에너지 전자 회절 시뮬레이션이 수행되는 방법에 대한 개요
Finite Difference Time Domain 방법이 결정에 의한 전자 및 / 또는 X 선 산란의 동적 시뮬레이션에 적용 되었습니까?
저에너지 전자 회절 (LEED) 패턴 시뮬레이션

답변

7 wyphan Dec 04 2020 at 02:43

APW (Augmented Plane Wave) 방법과 확장하여 Linearly-Augmented Plane Wave 방법은 모두 머핀 주석 근사화의 일반화입니다.

APW 및 LAPW 방법 모두에서 잠재적 인 $V(r)$ 단일 매개 변수 인 머핀-주석 반경이있는 부분 함수 [1]로 정의됩니다. $r_\mathrm{MT}$. $$ V(r) = % \begin{cases} \sum_{lm} V_{lm} (r) Y_{lm} (\hat{r}) & r < r_\mathrm{MT} & (\mathrm{core}) \\ V_K e^{i K r} & r > r_\mathrm{MT} & (\mathrm{interstitial}) \end{cases}$$

잠재력의 가치 $V(r)$, 파동 함수 $\phi(r)$및 전자 밀도 $\rho(r)$ 일치하는 $r = r_\mathrm{MT}$ 파생 상품이 각각 존재하는지 확인합니다.

다음 그림은 Singh & Nordstrom (2006) [2]입니다.

비 상대 주의적 슈뢰딩거 방정식을 풀 때, 같은 책은 ch. 5, p. 63.

이러한 미분 방정식 [방사형 슈뢰딩거 방정식]은 표준, 예를 들어 예측-보정 방법을 사용하여 방사형 메시에서 풀 수 있습니다.

조각별로 두 부분을 일치시킬 때 (4 장, 44 페이지) :

슈뢰딩거 방정식에서 $$ (E_2 - E_1) ~ r ~ u_1 (r) ~ u_2 (r) = u_2 (r) ~ \frac{ \mathrm{d}^2 ~ r ~ u_1(r) }{\mathrm{d}r^2} - u_1 (r) ~ \frac{ \mathrm{d}^2 ~ r ~ u_2(r) }{\mathrm{d}r^2} $$ 어디 $u_1 (r)$ 과 $u_2 (r)$ 다른 에너지의 방사형 솔루션 $E_1$ 과 $E_2$. 중첩은이 관계를 사용하고 부분별로 통합됩니다. 표면 용어는$u_1 (r)$ 또는 $u_2 (r)$ 구 경계에서 사라지고 다른 항은 취소됩니다.

어쨌든, 저는 개인적으로 방사형 슈뢰딩거 방정식을 푸는 것이 컴퓨터의 현재 상태를 고려할 때 계산적으로 너무 비싸다고 생각하지 않습니다. 그러나 어떤 대가를 치르더라도 그것을 피하고 싶다면 Kronig-Penney 모델 이 있습니다. 이는 정확성을 희생하면서 훨씬 더 간단합니다.