식 변수로 나누거나 곱할 때 부등식 기호를 뒤집습니까?
음수로 곱하거나 나눌 때와 같은 방식으로 표현식 변수로 나누거나 곱할 때 부등식 기호를 뒤집습니까?
나는 현재 대수 불평등을 이해하는 데 약간의 혼란을 겪고 있습니다.
왜 내가 틀렸는 지 잘 모르겠다는 불평등이 하나 있습니다.
$$ \log\left(\frac{2x-1}{x-2}\right) / \log2 < 0$$
그것이 진짜이기 위해서는 $(2x-1)/(x-2) > 0,$ 따라서 표현식 변수를 취소 (양변 곱하기) 할 수 있어야합니다. $(x-2).$ 기호를 변경하지 않고 $>$ ...에 $<$ 그러나 곱셈 후 결과를 얻었습니다. $x > 1/2$ 정답 대신 $x < 1/2.$
나도 알아 $(2x-1)/x-2 < 2^0,$ 그래서 우리는 또한 표현식 변수를 취소 할 수 있어야합니다 $(x-2).$ 기호를 변경하지 않고 $<$ ...에 $>$ 그러나 곱셈 후 결과를 얻었습니다. $x < -1$ 정답 대신 $x > -1.$
두 경우를 수직선으로 결합한 후 정답은 다음과 같습니다. $-1 < x < 1/2,$
그러나 나는 얻었다 $x < -1, x > 1/2,$ 외 $x=2,$ 잘못된 것으로 테스트되었습니다.
기호를 바꾸지 않는 것이 내 오류의 원인인지 확실하지 않으므로 내가 묻는 이유입니다.
이 과정은 표현식 변수를 곱하거나 나누는 과정을 포함하기 때문에 외부 솔루션의 가능성으로 인해 내 방법이 적합하지 않다고 생각하고 대신 시행 착오 표를 그려서 채워야 할 수도 있습니다.
시간과 답변에 미리 감사드립니다.
답변
우리는 $\frac{2x-1}{x-2}>0$. 곱하기$(x-2)^2$ 양쪽에 우리는
$$(2x-1)(x-2) > 0$$
따라서 $x < \frac12$ 또는 $x > 2$.
당신의 실수는 당신이 $x-2>0$ 사실이어야합니다.
우리는 또한 알고 있습니다 $$\frac{2x-1}{x-2}<1$$
만약 $x>2$, 그러면 우리는 $2x-1 < x-2$, 이는 $x < -1$ 모순되는 $x>2$.
만약 $x < \frac12$, 그러면 우리는 $2x-1 > x-2$ 따라서 $x > -1$.
결론은 $-1 < x < \frac12$.