심플 렉틱 기하학의 예
$\DeclareMathOperator\SU{SU}$허락하다 $M$ 차원 6의 코인 조인트 궤도 $\SU(3)$, 그리고 $T$ 최대 원환 체가되다 $\SU(3)$. 우리가 표시한다면$\mu : M \longrightarrow \mathbb{R}^2$ 행동과 관련된 순간지도 $T$ 의 위에 $M$, 모멘트 맵의 이미지는 정점이있는 육각형입니다. $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ 요소의 이미지 $M^T$ 으로 $\mu $.
에 대한 $P \subset \mathfrak{t}^*$ 벡터 방향이있는 아핀 공간 $\overrightarrow{P}$, 허락하다 $P^\perp \mathrel{:=} \lbrace \xi \in \mathfrak{t} \mathrel| \langle y, \xi \rangle =0, \forall y \in {(\overrightarrow{P})}^\perp\rbrace $, 그리고 $T_P$ 에 의해 생성 된 아 토러스 $\operatorname{Exp}(P^\perp)$.
만약 $\Sigma \mathrel{:=} \lbrace \text{$피$ convex polytope in $\ mathfrak {t} ^ *$} \mathrel| \exists \text{$지$ connected component of $M ^ {T_P}$ s.t $ \ mu (Z) = P$}\rbrace$, 어떻게 증명할 수 있습니까? $\Sigma = \lbrace\text{faces of $ \ mu (M)$}\rbrace \cup\lbrace [AD],[BE], [FC]\rbrace$?
답변
$\DeclareMathOperator\Ad{Ad}\DeclareMathOperator\Cent{C}\DeclareMathOperator\Norm{N}\newcommand\fg{\mathfrak g}\newcommand\fl{\mathfrak l}\newcommand\ft{\mathfrak t}\newcommand\C{\mathbb C}\newcommand\R{\mathbb R}$Symplectic Geometry의 예제에 대한 이전 질문 Question 과이 질문을 바탕으로 Symplectic Geometry 및 Moment Map에 대한 몇 가지 메모를 작성하는 것처럼 보입니다. 서로 다르지만 밀접한 관련이있는 여러 질문을하는 것보다 질문을 모아서 하나의 큰 질문으로 통합 할 수 있는지 확인하는 것이 좋습니다.
놓다 $G = \operatorname{SU}(3)$. 허락하다$\{\alpha, \beta\}$ 단순한 뿌리의 체계 $T$ 에 $G$, 그리고 $X^*$ 의 요소가되다 $M$ 하위 집합에있는 $\fg^*$ 모든 루트 공간에서 사라집니다. $T$ 에 $\fg_\C$, 우리는 $\ft^*$.
향후 참조를 위해 $g \in G$ 그런 $\Ad^*(g)X^*$ 모든 루트 공간에서 사소합니다. $\fg_\C$ 이외의 $\pm\alpha$-루트 공간. 허락하다$L$ 하위 그룹 $G$ 그 복잡한 거짓말 대수는 거짓말 대수의 합입니다. $T$ 그리고 $\pm\alpha$-루트 공간 $G_\C$ (그래서 $L$ 그랬던 것처럼 $\operatorname S(\operatorname U(2) \times \operatorname U(1))$). 그런 다음 우리는$\fl^*$ 요소 집합으로 $\fg^*$ 모든 루트 공간에서 사소한 $\fg_\C$ 이외의 $\pm\alpha$-루트 공간. 분명히,$\Ad^*(L\cdot\Norm_G(T))X^*$ 에 포함되어 있습니다 $\fl^*$. 반면에$g \in G$ 그런 $\Ad^*(g)X^*$ 에있다 $\fl^*$. 그때$T = \Cent_L(X^*)$ 과 $g T g^{-1} = \Cent_L(\Ad^*(g)X^*)$ 둘 다 최대입니다 $L$따라서 다음 요소에 의해 켤레가됩니다. $L$; 그래서$L g$ 교차 $\Norm_G(T)$.
허락하다 $T'$ 속이다 $T$. 우리는$T'$ 에 $\fg^*$ 저것들은 $Y^* \in \fg^*$ 모든 루트 부분 공간에서 사라집니다. $\fg_\C$ 중요하지 않은 루트와 연관 $T'$. 특히이 고정 소수점 공간은 사소한 뿌리 모음에만 의존합니다.$T'$. 이 루트 세트가 비어 있지 않은 경우 (동등하게$T' \ne T$) 모든 루트를 포함하지 않습니다 (동등하게 $T'$ 중요하지 않음), 싱글 톤이므로 Weyl conjugate of $\{\alpha\}$. 그런 다음 Weyl conjugacy까지$M^{T'}$ 같음 $\Ad^*(L\cdot\Norm_G(T))X^*$, 구성 요소, 색인화 $\Norm_L(T)\backslash\Norm_G(T)$, 아르 $\Ad^*(L)X^*$, $\Ad^*(L s_\beta)X^*$, $\Ad^*(L s_\beta s_\alpha)X^*$. 해당$P$s는 각각 $\mu(X^*)$ 과 $\mu(s_\alpha X^*)$; 사이의 가장자리$\mu(X^*)$ 과 $\mu(s_\beta X^*)$; 그리고 사이의 대각선$\mu(X^*)$ 과 $\mu(s_\beta s_\alpha X^*)$. 라벨링에서 이들은$[AB]$, $[AF]$, 및 $[AD]$. Weyl 켤레를 사용하면 다른면과 대각선이 제공됩니다.