솔루션 $615+2^x=y^2$ 정수에

Question

이 문제는 인기있는 문제와 매우 유사하지만 이런 식으로 발견했습니다. 비슷한 방법으로 해결할 수 있다고 생각했습니다. 이것은$x$ 짝수 여야합니다. $$615=y^2-2^{2k}=(y-2^k)(y+2^k)$$

가능한 요인 쌍 $615$ 아르 $\{(615,1), (123, 5), (3,205),(15,41)\}$. 그런 다음이 문제를 일반적으로 해결하는 방법은 두 가지 요인을 더하고 다음에 대한 값을 찾는 것입니다.$2^k$. 그러나 이번에는 가능한 가치를 찾을 수 있도록 요인을 감추려고 노력했습니다.$2^k$,하지만 이는 우리가 가치에 대해 4 가지 가능성 만 있음을 의미합니다. $2^k$: $\{614, 118, 2020, 26\}$. 값이없는 것$2^k$ 와 $k\in\Bbb{Z}$. 이것은이 방정식에 대한 정수 솔루션이 없다는 것을 의미합니까? 아니면 내 추론에 문제가있을 수도 있습니다.

미리 감사드립니다!

편집 : 나는 그것을 가정하지 않았다 $x$조차, 내가 그것에 대해 자세히 설명 했어야했다. 만약$y^2$ 정수인 경우 단위 자리의 숫자는 다음 중 하나 여야합니다. $\{1, 4, 5, 6, 9\}$. 2의 거듭 제곱은 단위 자리에 다음 숫자 만 가질 수 있습니다.$\{2, 4, 6, 8\}$. 만약$x$ 홀수이면 $2^x$ 중 하나가 $2$ 또는 $8$ 단위 위치로, 이것은 차례로 의미합니다 $y^2=615+2^x$ 둘 중 하나가 $7$ 또는 $3$모순입니다. 그래서$x$ 짝수 여야합니다.

Answer 1

가정 $x \geq 2$. 그것을 얻으려면 양면 모드 4를 줄이십시오.$3 \equiv y^2$, 이후 모순 $0$ 과 $1$ 유일한 사각형 모드 4입니다.

가능한 유일한 선택은 $x = 0$ 과 $x = 1$. 하지만 둘 다$615 + 2^0$ ...도 아니다 $615 + 2^1$완벽한 정사각형입니다. 그래서 해결책이 없습니다.

Answer 2

힌트 :$615\not\equiv1$ 모드 $8$, 그래서 우리는 $x\lt3$.

Answer 3

네, 증명합니다 $615+ 2^{x=2k} = y^2$ 정수 솔루션이없는 경우 $x$ 짝수이다.

만약 $x$우리 가 시도 할 수있는 것은 이상 합니다.

$615 + 2^{x=2k+1} = y^2$

$2^{2k+1} = y^2 - 615$ 그래서 $y$ 이상하다 $y=2m+1$

$2^{2k+1} = 4m^2 + 4m -614$

$2^{2k} = 2m^2 +2m - 307$ 즉 $2^{2k}$ 그래서 이상하다 $2^{2k} =1$ 과 $k =0$

$2m^2 +2m = 308$

$m(m+1) = 154$

그러나 $154 = 2*7*11$ 그렇게 고려할 수 없습니다.

그래서 $615+2^x =y^2$ 정수 솔루션이없는 경우 $x$ 또한 이상합니다.

그것은 꽤 비효율적이며 조언하지 않습니다.

(그러나 이것은 산술을 고려하는 것에 대한 힌트를 줄 수 있습니다. $\mod 4$ 그리고 닥터 후의 대답은 결국 자리를 잡았습니다.)