솔루션 $\frac{1}a + \frac{1}b + \frac{1}c = \frac{1}{2018}$
증명과 함께 양의 정수로 구성된 모든 순서가 지정된 세 쌍을 찾습니다. $(a,b,c)$ 그래서 $\dfrac{1}a + \dfrac{1}b + \dfrac{1}c = \dfrac{1}{2018}.$
일반적으로 $d$ 양의 정수이면 $(a,b,c) = (3d,3d,3d),(d,2d,6d),(d,6d,2d), (2d,d,6d),(2d,6d,d),(6d,d,2d),$ 과 $(6d,2d,d)$ 모두 양의 정수의 순서가 지정된 3 중 $\dfrac{1}a + \dfrac{1}b + \dfrac{1}c = \dfrac{1}d.$그러나 나는 그러한 모든 세 쌍둥이를 찾는 방법을 잘 모르겠습니다. 다음과 같이 방정식을 조작 해 보았습니다.\begin{align} &1 + \dfrac{a}b + \dfrac{a}c = \dfrac{a}{2018}\\ &\dfrac{a}b + \dfrac{a}c = \dfrac{a-2018}{2018}\\ &\dfrac{ab}{c } = \dfrac{b(a-2018)-2018a}{2018}\\ &c[b(a-2018)-2018a]-2018ab = 0\\ &c[(a-2018)(b-2018)-2018^2]-2018ab = 0\\ &c[(a-2018)(b-2018)]-2018(ab-2018(a+b)+2018^2+2018(a+b)-2018^2)-2018^2 c =0 \\ &(c-2018)(a-2018)(b-2018)-2018^2(a+b+c)+2018^3 = 0\\ &(c-2018)(b-2018)(a-2018) = 2018^2(a+b+c) - 2018^3, \end{align}
하지만 이것이 유용한 지 모르겠습니다.
출처 (댓글에서) :이 문제를 콘테스트 문제에서 기반으로했습니다. 나는 그것을 스스로 생각해 냈다. 내가 기초로 한 질문 은 Putnam 2018 질문 A1 이었습니다.
답변
나는 무차별 대입을하는 작은 파이썬 프로그램을 작성했습니다. 발견$670$ 솔루션 $a \le b \le c$ 첫 번째는 $$a=2019, b= 4074343, c= 16600266807306$$ 있었다 $40$ 와 $a=2019$ 그리고 그 중 마지막은 $$a=2019, b=c=8148684$$
아무도 너무 크게 웃지 않는 한 여기에 코드가 있습니다. 난 그냥$a$ 범위 $n+1$ ...에 $3n$, 범위를 계산 $b$ 그렇게 $\frac 1b \le \min(\frac 1a, \frac 1n-\frac 1a)$, 계산 $c$정수 나누기를 사용하여 짝수로 나오는지 확인하십시오. succ은 성공을 계산합니다. 이것은 Python 2입니다.
def prog(n, plev=0):
succ=0
astart=n+1
aend=3*n
if (plev > 19): print 'astart, aend',astart, aend
for a in xrange(astart,aend+1):
bstart=max(n*a/(a-n)+1,a)
bend=2*n*a/(a-n)
if (plev > 19): print 'bstart, bend', bstart, bend
for b in xrange(bstart, bend+1):
c=n*a*b/(a*b-n*(a+b))
if (n==a*b*c/(a*b+a*c+b*c)):
print 'success',a,b,c
succ+=1
print 'successes',succ
부분 답변 .$\,$ 허락하다 $d=\text{gcd}(a,b,c)$ 따라서, $a=dx, b=dy, c=dz$ - 어디 $\text{gcd}(x,y,z)=1$. 우리가 가정 하면$\text{gcd}(x,y)=\text{gcd}(y,z)=\text{gcd}(z,x)=1$ 그때 $\text{gcd}(xyz, xy+yz+zx)=1$ $$\frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac1{2018}\iff \frac{abc}{ab+bc+ca}=\frac{dxyz}{xy+yz+zx}=2018$$ 이것은 $xy+yz+zx\mid d\iff d=(xy+yz+zx)\cdot k, k\in\mathbb Z$. 따라서 방정식은$$k\cdot xyz=2018$$ 이 방정식에 대한 정수 솔루션이 있으면-오래 걸리지 않을 것입니다. $2018=2\cdot 1009$ -값을 사용하여 솔루션을 다시 얻습니다. $$(a,b,c)\equiv (kx\cdot (xy+yz+zx),ky\cdot (xy+yz+zx), kz\cdot (xy+yz+zx) )$$
관찰 . 대칭으로 인해 "단지"케이스를 고려해야합니다.$\text{gcd}(x,y)>1$.
$\dfrac{1}a + \dfrac{1}b + \dfrac{1}c = \dfrac{1}{2018}\implies \Big(a b - 2018 (a + b)\Big) \Big(a c - 2018 (a + c)\Big)=\Big(2018a\Big)^2$
허락하다 $a<b<c$ 과 $\Big(2018a\Big)^2=mn$, 자연 $m<n$.
그때 $b=\dfrac{2018 a + m}{a-2018}$ 과 $c=\dfrac{2018 a + n}{a-2018}$
pari / gp 코드 :
abc2018()=
{
s= 0;
for(a=2019, 10^4,
d= (2018*a)^2;
D= divisors(d);
for(i=1, #D\2,
m= D[i];
b= (2018*a+m)/(a-2018);
if(a<b, if(b==floor(b),
n= d/m;
c= (2018*a+n)/(a-2018);
if(b<c, if(c==floor(c),
if(1/a + 1/b + 1/c == 1/2018,
s++;
print("("a", "b", "c")")
)
))
))
)
);
print("\nNumber of solutions: "s)
};
산출:
(2019, 4074343, 16600266807306)
(2019, 4074344, 8300135440824)
(2019, 4074345, 5533424985330)
(2019, 4074346, 4150069757583)
(2019, 4074348, 2766714529836)
(2019, 4074351, 1844477711338)
(2019, 4074354, 1383359302089)
(2019, 4074360, 922240892840)
(2019, 4074378, 461122483591)
(2019, 4075015, 24670140810)
(2019, 4075351, 16456267338)
(2019, 4075688, 12337107576)
(2019, 4076360, 8230170840)
(2019, 4076361, 8226096498)
(2019, 4077034, 6170590959)
(2019, 4077369, 5488138674)
. . .
(3636, 4545, 2038180)
(3687, 4458, 921365323)
(3700, 4440, 22399800)
(3828, 4268, 187328922)
(3885, 4200, 22399800)
(3940, 4137, 83484660)
(3960, 4115, 657682344)
(4002, 4071, 39707177)
(4036, 4037, 16293332)
(4036, 4038, 8148684)
(4036, 4040, 4076360)
(4036, 4044, 2040198)
(4036, 4052, 1022117)
(4036, 5045, 20180)
(4036, 6054, 12108)
Number of solutions: 658