Spivak의 미적분 5-15-vi $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^2(x)+2x}{x+x^2}$

Question

측면에서 다음을 평가하십시오. $\alpha = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}:$

$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^2 (x)+2x}{x+x^2}$$

나는 이것에 붙어 있습니다. 나는 사용해 보았다$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ 뒤에 $\cos^2(x)=1 - \sin^2(x)$ 모든 것을 얻기 위해 $x$ 과 $\sin$. 그런 다음 나는$x$ 과 $\cos$ (이후 $\cos$분모에 있습니다). 또한 부분 분수를 시도했습니다. 도움.

Answer 1

당신은 쓸 수 있습니다 $$\frac{\tan^2 x + 2x}{x + x^2} = \frac{\tan^2 x + 2x}{x(x+1)} = \frac{\dfrac{\sin x}{x} \cdot\dfrac{\sin x}{\cos^2 x} + 2}{x+1}$$ 제한 법을 사용하여 제한을 얻습니다. $$\frac{\alpha \cdot 0 + 2}{1}$$

Answer 2

주어진,

$\frac{\tan^2 x+2x}{x+x^2}$ ,

이제 복용 $"x"$ 분자와 분모의 공통점,

우리는 얻는다,

$$\frac{\tan^2 x+2x}{x+x^2}=\frac{\tan(x)\frac{\tan(x)}{x}+2}{1+x}$$

아시다시피 $Lim_{x\to0}\frac{tanx}{x}=1$

그래서,

$$Lim_{x\to0}\frac{\tan(x)\frac{\tan(x)}{x}+2}{1+x}=\frac{0\cdot1 +2}{1+0}=2$$

Answer 3

이후 $\displaystyle \lim_{x\to 0} \cos x=1$, 우리는 $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}x=\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}x=\alpha$, 즉 $\tan x=\alpha x+o(x)$.

그래서 $\tan^2 x=\alpha^2 x^2+o(x^2)$, 및 $\tan^2 x+2x=2x+o(x)=x(2+o(1))$.

그때 $\frac{ \tan^2 x+2x}{x(1+x)}=\frac{2+o(1)}{1+x}$ 그리고 한계는 $x\to 0$ 2입니다.