Strict convexity + asymptotic Affinity는 경계가 있음을 의미합니까?

Question

이것이 정확히 연구 수준인지 확실하지 않지만 다음 주장에 대한 증거를 찾기 위해 고군분투하고 있습니다.

허락하다 $F:[0,\infty) \to [0,\infty)$ 될 $C^2$ 엄격하게 볼록 기능.

허락하다 $\lambda_n \in [0,1],a_n\le c_0<b_n \in [0,\infty)$ 풀다 $$ \lambda_n a_n +(1-\lambda_n)b_n=c_n $$ 그리고 그것을 가정 $c_n \to c>c_0$.

세트 $D_n=\lambda_nF(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)-F\big(c_n\big) $, 그리고 $\lim_{n \to \infty}D_n=0$

질문 : 필수$b_n$ 묶여 있습니까?

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특별한 경우에 대한 아주 간단한 증거 (아래에 제시)가 있습니다. $a_n=a,c_n=c$ 상수 시퀀스이지만 일반화하는 데 문제가 있습니다.

단순화 된 사례에 대한 증거 :

우리는 $ \lambda_n a +(1-\lambda_n)b_n=c$.

주어진 $x \ge r$, 허락하다 $\lambda(x) \in [0,1]$ 만족스러운 고유 번호 $$ \lambda(x) a +(1-\lambda(x))x=c. $$ 우리는 $\lambda(b_n)=\lambda_n$. 밝히다$$g(x) = \lambda(x) F(a) + (1-\lambda(x))F(x).$$

엄격한 볼록성 $F$ 그것을 의미 $g$ 엄격하게 증가하는 기능 $x$.

가정 $D_n \to 0$ 다음과 같다 $g(b_n) \to F(c)$. 이후$g(b_n) \ge F(c)$ (볼록성에 의해) 및 $g$ 엄격하게 증가하고 있습니다. $b_n$ 제한되어야합니다.

Answer 1

예, $b_n$제한되어야합니다. 반대로 가정하십시오. 하위 시퀀스로 전달하면 다음과 같이 가정 할 수 있습니다.$a_n\to a$, $b_n\to \infty$. 우리는$$\lambda_n=\frac{b_n-c_n}{b_n-a_n}\to 1;\, 1-\lambda_n=\frac{c_n-a_n}{b_n-a_n}\sim (c-a)b_n^{-1},$$ 및 사용 $F(b_n)\geqslant F(c_n)+(b_n-c_n)F'(c_n)$ 우리는 얻는다 $$ D_n+F(c_n)=\lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)\geqslant \lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F(c_n)+(1-\lambda_n)(b_n-c_n)F'(c_n)\\ \to F(a)+(c-a)F'(c)>F(c), $$ 그러므로 $\liminf D_n>0$.