Sub-gaussians에 대한 규범의 농도

Aug 19 2020

Vershynin의 HDP 책 에서 Theorem 3.1.1을 읽고 있습니다. 정리에 따르면

$ \text{Let } X=\left(X_1,\ldots,X_n \right) \text{be a random vector with independent, sub-gaussian coordinates } X_i \text{ that satisfy } \mathbb{E}X_i^2=1. \text{Then}$ $$ \| \| X\|_2-\sqrt{n}\|\|_{\psi_2} \leq CK^2$$ $ \text{where } K=\max_i{\|X_i\|_{\psi_2}} \text{ and } C \text{ is an absolute constant.}$

그만큼 $\psi_2$ norm은 Orlicz 함수가있는 Orlicz 표준입니다. $\psi(x)=e^{x^2}-1. $

증명에서 이해할 수없는 곳을 찾았습니다.

전체 증거는 $ \| X \|_2 -\sqrt{n} $하위 가우스 확률 변수입니다. 그리고 마지막 문장에서 저자는 정리의 결론과 동일하다고 말했습니다.

마지막 문장에서 동등성에 대해 묻고 싶습니다.

sub-gaussian의 센터링 속성을 살펴 보려고했지만 $\sqrt n \neq \mathbb{E}\|X\|_2 $. 어떤 힌트 나 아이디어라도 감사합니다.

답변

2 Lockjaw Aug 19 2020 at 01:28

저는이 책의 기반이 된 HDP 과정을 수강했고 이러한 결과도 저에게 시간이 걸린 것 같습니다! (적어도 저에게는) 당장 명백하지 않은 약간의 "원형적인 느낌"추론이 있습니다. 요컨대 두 가지가 있습니다.

  1. 첫째, 증거에서 우리는 농도 불평등이 $$\mathbb{P}\left\{ \big| ||X||_2 - \sqrt{n} \big|\geq t\right\} \leq 2 \exp\left(-\frac{ct^2}{K^4}\right) \\ = 2 \exp\left(-\frac{ct^2}{(K^2)^2}\right)$$ 모두를위한 $t \geq 0$. 언급했듯이 이것은 절대 값 항이 paramter가있는 sub-Gaussian이라는 것을 의미합니다.$K^2$. 발의안 2.5.2에서 우리는 등가물이 있음을 알고 있습니다 (최대 상수까지).$K_1=c_1K^2$ 그런 $\mathbb{E}\exp\left(X^2/K_1^2\right) \leq 2$.
  2. Orlicz 규범의 정의에서 $$\big|\big| ||X||_2 - \sqrt{n}\big|\big|_{\psi_2} $$표준을 최소 또는 최소 긍정 으로 지정합니다.$t$$\mathbb{E}\exp\left(X^2/t^2\right) \leq 2$. 이것으로부터 우리는 규범이$K_1$. 우리는 관련$K_1$ ...에 $K^2$ 위와 결과는 다음과 같습니다.