$\sum_{p,m\geq 3}(-1)^{m(p-1)/2}e^{-p^my}\log p = O(y^{-1/3})$
충분히 작게 보여줘 $y$ 우리는 $\sum_{p,m\geq 3}(-1)^{m(p-1)/2}e^{-p^my}\log p = O(y^{-1/3})$ 어디 $m\geq 3$ 모든 양의 정수를 나타냅니다. $3$ 앞으로 $p\geq 3$ 모든 홀수 소수를 나타냅니다.
나는 패리티에 따라 분할을 생각하고 있었다 $m$ 그리고 나머지 $p$ 모드 $4$부분 합산과 소수 정리를 사용합니다. 그러나$m$ 심지어는
$$ \sum_{\substack{m\geq 4 \\ 2\mid m}}\sum_{p>2} e^{-p^my}\log p = \sum_{\substack{m\geq 4 \\ 2\mid m}}\int_0^{\infty}\left[\sum_{2<p\leq t} \log p\right](myt^{m-1}e^{-t^my})dt \leq \sum_{\substack{m\geq 4 \\ 2\mid m}}m\int_0^{\infty}yt^{m}e^{-t^my}dt \\ = \sum_{\substack{m\geq 4 \\ 2\mid m}}\Gamma\bigg(1+\frac{1}{m}\bigg)y^{-\frac{1}{m}} \leq \sum_{\substack{m\geq 4 \\ 2\mid m}}y^{-\frac{1}{m}}$$ 후자는 안타깝게도 $O(y^{-1/3})$(비율을 Wolfram Alpha에 연결하면 발산되는 것을 알 수 있습니다). 이상한 경우$m$ 산술 진행을 위해 소수 정리에서 발생하는 주요 용어에서 일을 취소 할 수 있고 잘 작동 할 수도 있다는 것이 적어도 좋습니다.
접근 방식을 수정하는 방법에 대한 아이디어? 도움을 주시면 감사하겠습니다!
답변
합계 $m$먼저. 이후$p^k \geqslant 1 + k(p-1)$ 모든 $k \in \mathbb{N}$ Bernoulli의 불평등에 의해 우리는 $$\sum_{m = 3}^{\infty} e^{-p^my} \leqslant \sum_{k = 0}^{\infty} e^{-p^3y - k(p-1)p^3y} = \frac{e^{-p^3y}}{1 - e^{-(p-1)p^3 y}} \tag{1}$$ 모든 $y > 0$ 그리고 다 $p > 1$.
우리가 계속한다면 $y$ 멀리 떨어져 $0$, 오른쪽의 분모 $(1)$ 멀어지다 $0$ 그리고 우리는 잔인하게 추정 할 수 있습니다 \begin{align} \sum_{p \geqslant 3} e^{-p^3y}\log p &= \int_0^{\infty} e^{-t^3y}\,d\vartheta_3(t) \\ &= \int_0^{\infty} 3t^2y\vartheta_3(t) e^{-t^3y}\,dt \\ &= \int_0^{\infty} y\vartheta_3(\sqrt[3]{u})e^{-uy}\,du \\ &\leqslant 2\int_0^{\infty} y u^{1/3}e^{-uy}\,du \\ &= 2\Gamma \biggl(\frac{4}{3}\biggr)y^{-1/3} \end{align} 어디 $\vartheta_3(t)$ 홀수 소수의 로그 합계입니다. $\leqslant t$ 그리고 우리는 쉬운 추정을 사용했습니다 $\vartheta_3(t) \leqslant \vartheta(t) \leqslant 2t$ 모든 $t > 0$.
그러나 우리는 작은 것을 추정하고 싶습니다. $y$, 그래서 우리는 $y$ 멀리 떨어져 $0$. 그럼에도 불구하고 위의 내용도 유용합니다. 먼저$p \equiv 3 \pmod{4}$, 그러면 교대 합계가 있고 $$\Biggl\lvert \sum_{m = 3}^{\infty} (-1)^m e^{-p^my}\Biggr\rvert \leqslant e^{-p^3y}\,,$$ 따라서 우리는 $(1)$ 분모가 멀어지는 $0$ 균일하게 $y$. 다음으로 [for$p \equiv 1 \pmod{4}$] 왼쪽에 $(1)$ 우리는 합계를 시작하자 $m = r \geqslant 3$ 어디 $p^{r+1} > \frac{1}{y}$ 우리는 견적을 얻습니다 $$\sum_{m = r}^{\infty} e^{-p^my} \leqslant 2e^{-p^ry} \leqslant 2e^{-p^3y}\,.$$ 그런 다음 위와 같이 추정하고 $$\Biggl\lvert \sum_{(p,m) \in A(y)} (-1)^{m(p-1)/2}e^{-p^my}\log p\Biggr\vert \leqslant 4\Gamma\biggl(\frac{4}{3}\biggr)y^{-1/3}\,,$$ 어디 $$A(y) = \{(p,m) : p \equiv 3 \pmod{4} \text{ or } p^{m+1}y \geqslant 1\}\,.$$ 보여줄 것입니다 $$\sum_{\substack{p \equiv 1 \pmod{4} \\ m \geqslant 3 \\ p^{m+1}y < 1}} e^{-p^my}\log p \ll y^{-1/3} \tag{2}$$ ...에 대한 $y < 1/5$, 말하십시오.
각 고정 $m$ 우리가 가지고 있다는 점에서 $$\sum_{p^{m+1} < y^{-1}} e^{-p^my}\log p \leqslant \sum_{p < y^{-1/(m+1)}} \log p \leqslant 2\cdot y^{-1/(m+1)} \leqslant 2y^{-1/4}\,,$$ 과 $5^{m+1} < y^{-1}$ 암시 $m+1 < \frac{\lvert \log y\rvert}{\log 5}$, 따라서 왼쪽의 합계 $(2)$ 보다 크지 않다 $$\frac{2}{\log 5}y^{-1/4}\log \frac{1}{y}$$ 보다 작은 순서입니다 $y^{-1/3}$.