Symbolic Dynamics and Coding의 문제 1.2.14 (b)

Nov 22 2020

알파벳이 주어지면 $\mathcal{A}$ 크기 3의 $X=\{x\in\mathcal{A}^{\mathbb{Z}}: x_{i+n^2}\neq x_{i} \forall i\in\mathbb{Z} \forall n\in\mathbb{N}\}$. 여기$x_i$ ~의 속기 $x(i)$. 보여줘$X=\emptyset$ 피타고라스 트리플을 사용해 보았습니다 $a^2+b^2=c^2$ 그리고 결론 $x_{a^2}=x_{b^2}$ 그런 경우 $x$존재했다. 이제 내가해야 할 일은$x_{a^2}\neq x_{b^2}$ 그리고 나는 모순에 의한 증거를 가질 것입니다.

답변

3 CalvinLin Nov 22 2020 at 11:21

(필요에 따라 간격을 채우십시오. 막힌 경우 작업 및 사고 프로세스를 작성하여 현재 위치를 입증하십시오.)

그러한 시퀀스가 ​​존재한다고 가정합니다. 허락하다$\mathcal{A} = \{R, B, G \}$.

  1. WLOG 렛 $ x_1 = R$.
  2. 우리는 양식의 수에 초점을 맞출 것입니다 $ x_{1 + n^2}$, 레이블 지정 $y_n$. 분명히$y_n = B$ 또는 $G$.
  3. 주장 : 만약 $ a^2 + b^2 = c^2$, 다음 $ y_a, y_b$ 색상이 동일합니다. $y_c$.
  4. WLOG 렛 $ y_3 = y_4 = B$ 그래서 $y_5 = G$.
  5. 그래서 $y_5 = y_{12} = G, y_{13} = B$.
  6. 그래서 $y_{12}=y_{16} = G, y_{20} = B$.
  7. 피타고라스 트리플 (및 그 배수)을 사용하여 모순이 생길 때까지 알려진 용어를 계속 추가하십시오. (나는 모순을 얻습니다$y_{16}$, 결국에는 $B$. 물론 다른 모순에 도달 할 수도 있습니다.)

$ y_{12} = y_{9} = G, y_{15} = B$
$y_{15} = y_8 = B, y_{17} = G$
$y_8 = y_6 = B, y_{10} = G$
$y_{10} = y_{24} = G, y_{26} = B $
$y_{24} = y_{18} = G, y_{30} = B $
$y_{30} = y_{16} = B, y_{34} = G $