텐서에 왼쪽이 인접하는 모노 이드 범주
단일 범주의 이름이 있습니까? $(\mathscr V, \otimes, I)$ 그런 $\otimes$ 왼쪽 인접이 있습니다 $(\ell, r) : \mathscr V \to \mathscr V^2$? 어디서든 공부 했습니까? 흥미로운 예는 무엇입니까?
몇 가지 언급 : 언제 $I : 1 \to \mathscr V$ 왼쪽 인접이 있습니다. $\mathscr V$세미 카르테 시안, 즉 단위가 터미널입니다. 언제$\otimes$ 왼쪽 인접이 있습니다. $\Delta : \mathscr V \to \mathscr V^2$, 다음 $\mathscr V$ 바이너리 곱이 있습니다.
구조를 더 명확하게 만들기 위해 여기서 정의를 풀겠습니다. 허락하다$(\mathscr V, \otimes, I)$ 단일 범주 여야합니다. $\otimes$ 다음이 있으면 왼쪽 인접이 있습니다.
- endofunctors $\ell : \mathscr V \to \mathscr V$ 과 $r : \mathscr V \to \mathscr V$;
- 모든 형태의 쌍에 대해 $f : \ell(X) \to Y$ 과 $g : r(X) \to Z$, 형태 $\{f, g\} : X \to Y \otimes Z$;
- 모든 형태에 대해 $h : X \to Y \otimes Z$, 형태 $h_\ell : \ell(X) \to Y$ 과 $h_r : r(X) \to Z$,
모두를 위해 $x : X' \to X$, $y : Y \to Y'$ 과 $z : Z \to Z'$, 우리는 $$y \otimes z \circ \{ f, g \} \circ x = \{ y \circ f \circ \ell(x), z \circ g \circ r(x) \}$$ $$\{ h_\ell, h_r \} = h$$ $$\{ f, g \}_\ell = f$$ $$\{ f, g \}_r = g$$
답변
청소하기 위해 $\epsilon$Qiaochu의 답변 이후 남은 공간의 수-추가 가설을 제거 할 수 있습니다. 내가 쓸게$I$ 모노 이드 단위 및 $1$ 터미널 개체에 대해.
그것을 가정 $(\ell,r) \dashv \otimes$. 그런 다음 자연 동형$A \cong I \otimes A \cong A \otimes I$ 지도를 부수적으로 일으키다 $\ell A \to I$ 과 $r A \to I$, 자연 $A$. 유닛 맵도 있습니다$A \to (\ell A) \otimes (r A)$, 자연 $A$. Tensoring and compposing, we get a map$A \to (\ell A) \otimes (r A) \to I \otimes I \cong I$, 자연 $A$. 즉, 코코 네 (정점$I$) ID 함수에 대한 $V$. 멱 등성 완성에서$\tilde V$ 의 $V$, 터미널 객체가 있습니다 ( $I$).
이제 멱 등성 완성 $\tilde V$ 다시 모노 이드 구조를 가지고 $\tilde \otimes$ 왼쪽 인접 $(\tilde \ell, \tilde r)$. 따라서 Qiaochu의 Eckmann-Hilton 주장의 첫 번째 부분은$\tilde V$: $I = I \otimes I = (I \times 1) \otimes (1 \times I) = (I \otimes 1) \times (1 \otimes I) = 1 \times 1 = 1$ (세 번째 표현에서는 제품이 사소하게 존재하고 네 번째 표현에서는 제품이 존재합니다. $\otimes$제품 보존). 즉, 우리는$I_{\tilde V} = 1_{\tilde V}$. 그러나$I_{\tilde V}$ 의 이미지입니다 $I_V$ 에 $\tilde V$이고 멱 등성 완성에 포함되면 터미널 객체가 반영됩니다. 따라서$V$ 터미널 객체가 있고 $1_V = I_V$.
그런 다음 위의 주석에서 볼 수 있듯이 Qiaochu의 Eckmann-Hilton 주장의 두 번째 부분은 $V$: $A \otimes B = (A \times 1) \otimes (1 \times B) = (A \otimes 1) \times (1 \otimes B) = A \times B$ (두 번째 표현에서는 제품이 사소하게 존재하고 세 번째 표현에서는 제품이 존재합니다. $\otimes$제품 보존). 즉, 바이너리 제품은$V$ 동의합니다 $\otimes$. 사실, identity functor는 다음의 oplax monoidal functor입니다.$(V,\otimes)$ ...에 $(V,\times)$, 주장이 보여주는 것은 실제로 강한 단일형입니다. 그러므로$(V,\otimes) \simeq (V,\times)$ 단일 범주로.
만약 $\otimes : V \times V \to V$ 왼쪽 인접하고 $V$ 유한 제품이 있습니다. $\otimes$ 자연지도가
$$(X \times Y) \otimes (Z \times W) \to (X \otimes Z) \times (Y \otimes W)$$
동형입니다. Eckmann-Hilton 주장의 단일 범주 버전에 따르면 이것은$\otimes$제품입니다. 명시 적으로, 우리가$1_{\times}$ 터미널 객체를 나타내고 $1_{\otimes}$ 모노 이드 단위를 나타내면 동형을 얻습니다.
$$1_{\otimes} \cong 1_{\otimes} \otimes 1_{\otimes} \cong (1_{\otimes} \times 1_{\times}) \otimes (1_{\times} \times 1_{\otimes}) \cong (1_{\otimes} \otimes 1_{\times}) \times (1_{\times} \otimes 1_{\otimes}) \cong 1_{\times} \times 1_{\times} \cong 1_{\times}$$
그래서 $1_{\otimes} \cong 1_{\times}$(그리고이 동형은 존재한다면 독특하므로 자연성에 대해 그다지 걱정할 필요조차 없습니다). 이제 우리는 터무니없는 아래 첨자를 삭제하고$1$. 이것은 자연스러운 동형을 제공합니다
$$X \otimes Y \cong (X \times 1) \otimes (1 \times Y) \cong (X \otimes 1) \times (1 \otimes Y) \cong X \times Y$$
어떠한 것도 $X, Y$. 사실 나는이 주장이$\otimes$ 제품의 결합 자 및 단위 자와 일치하지만이 주장의보다 정교한 버전이 일치한다고 생각합니다.
그게 가능한지 모르겠어요 $V$유한 한 제품이 없습니다. (이전에 Day convolution과 관련된 논쟁이 있었지만 Tim은 의견에서 공백을 지적했습니다.)