테스트 통계의 극한 정의 및 정의 $p$-양측 검정에 대한 값
태그 정의 $p$-값은 말한다
빈도주의 가설 테스트에서 $p$-값은 귀무 가설이 참이라는 가정하에 관찰 된 결과보다 극단적 인 (또는 그 이상) 결과의 확률입니다.
그러나 우리는 더 극단적 인 것을 어떻게 정의 할까요? 에서는 "교사와 학생 사이의 사려 대화" , @whuber 쇼 그 극단은 우도 비 아래 정의 할 수 WRT$H_0$ 대 $H_1$ (또는 $H_A$ 원래 표기법), $LR=\frac{P(data|H_1)}{P(data|H_0)}$. LR이 클수록 결과가 더 극단적입니다. 여태까지는 그런대로 잘됐다.
@whuber의 예에서, $H_0$인 일방적 등이며$H_1$. 그러면 테스트 통계 값의 어떤 영역이 가장 큰 LR을 생성하는지 찾는 것이 그리 어렵지 않습니다. 따라서 우리는$p$-값; 우리는 관찰 된 값과 같거나 더 극단적 인 (같거나 더 큰 LR을 가짐) 테스트 통계의 모든 가능한 값에 대해 널 분포 아래의 영역을 통합합니다.
그러나되어 있도록 선택하지 때$H_1$인 두 양면 같은 양면 같이$t$-테스트. 귀무 분포의 왼쪽 꼬리 는에서 가정 된 값 의 왼쪽 에 대한 대안에 대해 가장 큰 LR을 생성합니다 .$H_0$, 왼쪽 꼬리는 오른쪽 에 대한 대안에 대해 전혀 극단적이지 않습니다.$H_0$; 사실, 극단적 인 것은 반대쪽 꼬리 일 것입니다. 문제는 두 대안 모두$H_1$.
Q : 그러한 상황을 어떻게 처리합니까? 모순되는 수준의 LR이 다른 인스턴스에서 발생할 수있을 때 극단을 정의하는 원칙적인 방법은 무엇입니까?$H_1$?
추신 나는 이전에 관련 질문 을$p$-가치는 대안에 따라 달라집니다. 나는 현대 (포스트 Fisher) 정의를 사용하여$p$-가치, 그렇습니다.
답변
양면 테스트의 시나리오 외에도이 질문은 그룹 순차 임상 시험에서 덜 피할 수없는 방식으로 발생합니다.
그룹 순차 시행에는 일련의 분석 시간과 중단 할 시행을위한 각 분석에서 임계 값을 지정하는 중단 경계가 있습니다. 계산에서$p$-값 또는 신뢰 구간 가능한 결과의 순서를 지정하는 데 필요합니다. 예를 들어 4 시간 중 2 시간에$Z$-점수 3, 시간 3에서 멈추는 것과 비교하면 $Z$-점수 2.5?
실제로 제안 된 주문 중
- 차이의 크기로 정렬
- 시간순으로 정렬하여 이른 시간에 중지하는 것이 나중에 중지하는 것보다 더 극단적입니다.
이것은 진정한 선택입니다. 다른 사람들이 합법적으로 다른 주문을 선택할 수 있습니다. 차이의 크기를 기준으로 정렬하면 신뢰 구간이 더 좁아지고, p- 값이 더 정확하고, 편향이 줄어드는 경향이 있지만, 중지 된 시행에 대한 향후 분석이 발생할 (관찰 불가능한) 시간에 대한 분석의 민감도를 증가시킵니다.
( 참고 자료 : Kittleson과 Gillen의 단기 과정)
검정 통계량의 극단 성을 정의하고 양측 검정에 대한 p- 값 정의 ...
여기서 적절한 관점은 "올바른"통계를 가지고있을 때 통계 자체가 테스트 문제에 대해 "극단 성"이 의미하는 바를 일방적 또는 양면으로 알려준다는 것입니다. 따라서 더 기본적인 질문은 "올바른"통계가 무엇인지입니다. 테스트 문제는 최적화 문제의 특수한 경우입니다. 크기 제약에 따라 전력을 최대화하려고합니다. 따라서 이것은 "올바른"솔루션 개념을 정의하는 것을 의미합니다.
예를 들어, 단순 null 대 단순 대안으로 테스트 문제에 대한 가장 강력한 테스트를 찾는 것은 선형 프로그램의 특별한 경우입니다. $$ \sup_{0 \leq \phi \leq 1, \, \\ \\ \int \phi(\omega) f_0(\omega) d\mu \leq \alpha} \int \phi(\omega) f_1(\omega) d\mu. $$ 솔루션이 $\phi^*$그러한 프로그램의 경우 $$ \phi^* = \begin{cases} 1 & \text{if } f_1 \geq k f_0 \\ 0 & \text{if } f_1 \geq k f_0, \end{cases} $$ 일부 $k$. 테스트 문제의 맥락에서 우도 비율 통계가$\frac{f_1}{f_0}$ 보다 크다 $k$.
(댓글에서 임계 값이 $k$크기 제약의 "그림자 가격"으로 해석됩니다. 분명히이 용어는 경제학에서 빌려온 것입니다.$k$문제의 Kuhn-Tucker-Lagrange 승수입니다. 인테리어 솔루션의 경우 일반적으로 다음과 같이 말합니다.$\alpha$--- 경제적 문제에서 예산 --- $\epsilon$, 검정력이 다음만큼 증가합니다. $k \epsilon$. 그러나이 해석은 일반적으로 선형 프로그램에는 적용되지 않습니다.)
유사하게, 복합 null vs. 간단한 대안에 대한 가장 강력한 테스트를 찾는 것은 선형 프로그램을 해결하는 것과 같습니다. 대응하는 이중 프로그램에 대한 솔루션은 가장 강력한 통계가 널 이전에 가장 유리하지 않은 베이지안에 대한 우도 비율 통계라는 것을 알려줍니다. (간단한 null 케이스는 사소한 사전이있는 특별한 경우입니다.)
단조로운 가능성 비율 (MLR) 속성이있는 모델에 대한 단측 대안을 사용한 테스트는 물론 또 다른 예입니다. MLR은 모델이 데이터와 관련하여 변하지 않는 가능성 비율의 순위를 인정함을 의미합니다.$\omega$. 따라서 우도 비 검정은 거의 가정에 따라 가장 강력한 검정입니다.
양면 대안의 경우, 예 : $\Gamma_0 = \{\gamma_0\}$ 과 $\Gamma_1 = (-\infty,\gamma_0)\cup (\gamma_0, \infty)$ 평균으로 매개 변수화 된 정상 밀도 $\gamma \in \mathbb{R}$, 가장 강력한 테스트는 일반적으로 존재하지 않습니다. 따라서 올바른 통계는 다른 기준에 의해 결정되어야합니다. 예를 들어 로컬에서 가장 강력한 테스트 를 찾을 수 있습니다 .
시험 $\phi^*$ 다른 테스트의 경우 로컬에서 가장 강력한 테스트입니다. $\phi$, 열린 이웃이 있습니다. $N_{\gamma_0, \phi}$ 귀무 가설의 $\phi^*$ 보다 균일하게 더 높은 전력을 $\phi$ 의 위에 $N_{\gamma_0, \phi}$. 해당 1 차 최적 성 조건은 다음과 같은 기준을 제공합니다. $$ \phi^* = \begin{cases} 1 & \text{if } \frac{\partial^2}{\partial \gamma^2}f_{\gamma_0} \geq k_1 \frac{\partial}{\partial \gamma} f_{\gamma_0} + k_2 f_{\gamma_0} \\ 0 & \text{if } \frac{\partial^2}{\partial \gamma^2}f_{\gamma_0} < k_1 \frac{\partial}{\partial \gamma} f_{\gamma_0} + k_2 f_{\gamma_0} \end{cases} $$ 일부 $k_1$ 과 $k_2$. 정규 밀도를 위의 식으로 대체하면$\phi^*$ 언제 거부 $|x- \gamma_0|$ 큰 --- 양면 테스트입니다.