특이 값에 바인딩
허락하다 $M \in \mathbb{R}^{d\times d}$비대칭 행렬이어야합니다. 두 수량에 대한 하한 / 상한 또는 동등성이 있습니까?$$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \qquad \text{and} \qquad \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u \, ?$$ 오른쪽은 가장 작은 특이 값의 제곱입니다. $A$. 또한$u^* A u$ 순수 가상이어야합니다. $u^* A^T A u$ 진짜 여야합니다.
실제로 Stephen의 아래 주석은 왼쪽이 0임을 보여줍니다. 일반 행렬은 어떻습니까$A$, 반드시 비대칭이 아닌가?
답변
Cauchy-Scharz 불평등을 지적 해 주신 Stephen에게 감사드립니다. $$ \left| u^* A u \right|^2 = \left| \left< Au, u \right> \right|^2 \leq \left< Au, Au \right> \left< u, u \right> = u^* A^T A u $$ 법선 벡터의 경우 $u$ 그리고 실제 행렬 $A$, 그 후 $$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \leq \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u $$ 모든 실제 행렬 $A$. 왼쪽은 비대칭의 경우 0입니다.$A$.