통합 $\frac{1}{x(x+1)(x+2)…(x+m)}$ [복제]

Question

이 질문을 보았습니다. $$\int \frac{1}{x(x+1)(x+2)...(x+m)} dx$$

유리 함수를 부분 분수로 나누려고했습니다. $$ \frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2}+...+\frac{Z}{x+m}$$ 여기에서 진행하는 방법을 잘 모르겠습니다.

누군가가 단계별 설명으로 나를 깨달을 수 있습니까? 특정 단계를 건너 뛰면 쉽게 혼란스러워집니다.

Answer 1

노트 $$\frac{1}{x(x+1)(x+2)...(x+m)}=\sum_{k =0}^{m} \frac{a_k}{x+k} $$ 어디 $a_k$ 다음과 같이 얻어진다 \begin{align} a_k &=\lim_{x\to -k} \frac{x+k}{x(x+1)(x+2)...(x+k)...(x+m)}\\ &= \frac{1}{[(-k)(1-k)(2-k)(-2)(-1)]\cdot[(1)(2)...(m-k-1)(m-k)]}\\ &=\frac1{(-1)^k k!(m-k)!} \end{align} 그러므로

$$\int \frac{dx}{x(x+1)(x+2)...(x+m)} =\int \sum_{k =0}^{m} \frac{a_k}{x+k}dx = \sum_{k =0}^{m} \frac{(-1)^k\ln|x+k|}{k!(m-k)!}+C $$