의 간단한 예 $\sigma$-무작위 변수에 의해 생성 된 필드 (개념 검사)

Question

$\Omega = \{ {\omega_1, \omega_2,\omega_3} \}$ 각 상태가 똑같이 가능성이 있습니다.

두 개의 랜덤 변수가 있습니다. $\widetilde{x}$ 과 $\widetilde{y}$ 다음 상태의 기능입니다.

$\widetilde{x}(\omega_i)=a_i$ 어디 $a_1 \neq a_2 \neq a_3$

과

$\widetilde{y}(\omega_1) = b_1$ 과 $\widetilde{y}(\omega_2) = \widetilde{y}(\omega_3)=b_2.$

문제는 무엇입니까 $\sigma$-필드 생성 $\widetilde{y}?$

대답은 $F = \{\emptyset, \{\omega_1\}, \{\omega_2, \omega_3\}, \{\omega_1, \omega_2, \omega_3 \} \}$ 다음과 같은 이유로 :

1. $A \in F \subseteq \Omega $
2. $A \in F \implies A^c \in F$
3. 여러 요소의 교차점 $F$ 의 요소입니다 $F$.
4. 모든 요소의 결합 $F$ 의 요소입니다 $F$
5. $\omega_2$ 과 $\omega_3$ 서로 구별 할 수 없으므로 포함 할 필요가 없습니다. $\{\omega_2\}$ ...도 아니다 $\{\omega_3\}$ 에 $F$.

그 맞습니까?

또한 질문이 $\widetilde{y}$ 에 대한 정보 $\widetilde{x}$ 무관 하죠?

더욱이, 세계 각주의 확률은 다음을 고려할 때 무관합니다. $\sigma$-필드 맞죠?

Answer 1

당신 말이 맞지만 정의를 사용하여이 시그마 필드를 찾는 방법을 알고 있으면 감사 할 것입니다.

랜덤 변수에 의해 생성 된 시그마 필드 $X:\Omega\to\mathbb{R}$ 모든 역 이미지로 구성 $X^{-1}(B)$ Borel 세트의 $B\subset \mathbb{R}.$

때문에 $y$ 가능한 값이 두 개뿐입니다. $b_1$ 과 $b_2,$ 정확히 네 종류의 보렐 세트가 있습니다 $B$ 에 관련된 $y:$

1. $b_1\in B$ 과 $b_2\in B.$ 이 경우 $y^{-1}(B) = \{\omega\in\Omega\mid y(\omega)\in B\}= \Omega.$

2. $b_1\in B$ 그러나 $b_2\notin B.$ 지금 $y^{-1}(B) = \{\omega\in\Omega\mid y(\omega)\in B\}=\{\omega_1\}.$

3. $b_1\notin B$ 아직 $b_2\in B.$ 지금 $y^{-1}(B) = \{\omega\in\Omega\mid y(\omega)\in B\}=\{\omega_2,\omega_3\}.$

4. $b_1\notin B$ 과 $b_2\notin B.$ 분명히 $y^{-1}(B) = \emptyset.$

그게 다입니다. 우리는 귀하가 제공 한 요소를 정확하게 나열했습니다. $\mathfrak F.$

(암묵적으로, 우리는 Borel 세트가 시그마 필드를 형성한다는 사실을 사용했습니다. 모든 실수는 일부 Borel 세트의 요소입니다. 두 개의 별개의 실수는 그중 하나가 내부에 있다는 의미에서 Borel 세트로 분리 될 수 있습니다. 세트와 다른 하나는 외부에 있습니다.)

관찰하고 기억해야 할 사항 :

• 속성을 보여줄 필요가 없습니다. $(1)-(4)$(귀하의 질문에) 시그마 필드. Borel 세트 때문에$\mathbb R$ 시그마 필드, 필연적으로 역 이미지의 컬렉션을 형성합니다. $y$시그마 필드를 형성합니다. 그것은 기본 집합 이론을 사용하여 입증되었으며 무작위 변수를 다룰 때마다가 아니라 한 번만 증명하면됩니다.

• 시그마 필드 $y$되고 생성 된 임의의 이미지 반전하여 PI 시스템 의 보렐 집합을 생성$\mathbb R.$ 표준 파이 시스템은 다음 형식의 세트로 구성됩니다. $(-\infty, a]$분포 함수를 정의하는 데 사용됩니다. 이 관찰은이 연습을 단순화하지는 않았지만 더 복잡한 랜덤 변수와 관련된 고려 사항을 크게 단순화합니다.

• 시그마 필드는 논리적으로 확률보다 우선합니다. 시그마 필드가있을 때까지 확률을 정의 할 수 없습니다. 다음과 같이 생각해보십시오. 시그마 필드는 확률을 할당 할 수있는 이벤트에 대한 선언 (모델러에 의한)입니다. 이러한 이벤트가 무엇인지 알기 전까지는 이러한 할당을 할 수 없습니다! (이의 필요성은 분석 할 무작위 변수가 무한히 많은 복잡한 상황, 즉 무한 인덱스 세트에 대한 확률 적 프로세스의 경우 에 더욱 중요 합니다.)