운영자의 시간 의존성

Question

Griffiths의 Introduction to Quantum Mechanics에서 저자는 위치에 대한 기대 값의 시간 변화를 연구하면서 다음과 같이 썼습니다. $$\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}x|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

그래서 $$\frac{d\langle x\rangle}{dt}=\int x\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

그는 그냥 $x$시간 의존성이 없습니까? 그리고 왜?

Answer 1

그는 x가 시간 의존성이 없다고 가정 했습니까? 그리고 왜?

예. 형태의 적분의 결과$$\int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx \tag{1}$$ 시간의 함수 $t$; 즉, 하나의 실제 변수의 함수 (또는 느슨하게 말하면 적분은 다음에 의존하지 않는 양으로 평가됩니다.$x$,에만 $t$). 따라서 차별화시$(1)$, 하나는 얻을 것입니다 : $$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx = \int \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) \, dx$$Leibniz Integral Theorem 에 의해 지시 된대로 (나는 다음의 동작에 대한 약한 가정을 가정했다는 점에 유의하십시오.$f$, 그러나 여기서는 놀라운 관심이 없습니다). 이것의 사소한 응용$$\langle x \rangle := \int_{\mathbb{R}} x |{\Psi(x,t)}|^2 \, dx$$ 원하는 결과를 얻을 수 있습니다.

Answer 2

양자 역학의 두 가지 공식은 다음과 같습니다.

• 슈뢰딩거 표현 . 시간 진화는 상태 벡터, 파동 함수로 인코딩됩니다.$\Psi(x,t)$, observable (연산자)은 시간이 일정합니다.
• Heisenberg 대표 . 이제 연산자는 시간이 지남에 따라 진화하고 상태 벡터는 시간과 무관하며 고정 된 상태로 유지됩니다.

상호 작용 이론의 경우 하이브리드 상호 작용 표현이 있습니다. 여기서 연산자는 상호 작용하지 않는 Hamiltonian으로 진화합니다.$H_0$, 상태는 상호 작용 부분을 통해 진화합니다. $H_I$.

따라서 귀하의 경우 저자는 Schrödinger 표현을 사용합니다.