왜 이것이 1 차 Peano 산술이 일관적임을 보여주지 않습니까?
일부 전제 조건 : 술어 논리는 일관되고 완전합니다. 즉, (i) 닫힌 공식의 경우$F$ 평등과 함수를 가진 술어 미적분에서, $\vdash F$ 경우에만 $\,\vDash F$ (어디 $\vDash F$ 방법 $F$ 에서 발생하는 술어 및 함수의 할당에 대한 논리 상수의 표준 해석 하에서 참입니다. $F$). 또한, (ii)$\,\vdash F$ 일차 산술에서 유한 한 수식 시퀀스에 대해 $\Gamma$ (어디 $\Gamma$ Peano 산술의 닫힌 공리), $\Gamma \vdash F$ 평등과 함수를 가진 술어 미적분.
이제 여기에 내 주장이 있습니다. 내가 어디에서 실수를 했습니까? 가정$\vdash F$1 차 산술에서. 그런 다음 (ii),$\Gamma \vdash F$술어 논리에서. 그러므로$\vdash \Gamma' \rightarrow F$ (공식 $\Gamma'$ 공식의 결합입니다 $\Gamma$). (i)에 의해,$\vDash \Gamma' \rightarrow F$. 그런 다음 표준 산술 모델 (및 기타 모든 모델)에서$\Gamma' \rightarrow F$해석하에 진정한 진술입니다. 그리고 직관적 인 수 이론에서 명제는$\Gamma'$표준 모델에서는 사실입니다. 따라서 직관적으로$F$사실이어야합니다. 따라서$F$첫 번째 산술에서 증명할 수 있고 직관적으로 사실입니다. 그런 다음 1 차 산술이 일치하지 않으면 비율$0=0$ 과 $0\neq0$증명할 수 있고 따라서 표준 모델에서 둘 다 사실입니다. 따라서 공식 시스템은 일관성이 있어야합니다.
이것이 유효한 주장인가? 이것은 강력한 주장입니까, 아니면 끝이 아닌 방법에 호소하기 때문에 경험적 주장에 가깝습니까? 일관된 직관적 인 수 이론에 의존하기 때문에 원형입니까? 더욱이이 주장이 타당하지 않다면, 정리가 반드시 참임을 알 수 없는데 왜 우리는 수 이론을 공식화합니까?
답변
사실 그 $\mathbb{N}$ Peano 산술의 일관성을 보여주기에 충분한 1 차 Peano 산술 (이하 간단히 Peano 산술)의 모델입니다.
하지만 우리가 세트에 대해 이야기 할 수 있다는 사실은 $\mathbb{N}$그리고 그것이 산술을 "모델링"하는 방법은 우리가 우리의 메타 이론 (또는 적어도 Peano 산술보다 더 강력한 메타 이론)으로서 집합 이론 (ZF와 같은)에서 작업하고 있다고 가정합니다. 따라서 우리는 Peano 산술보다 훨씬 더 강력한 이론에서 Peano 산술의 일관성을 증명하고 있습니다 (그 자체로는 일관성이 없을 수 있음).
Peano 산술 자체 내에서 Peano 산술 의 일관성을 증명할 수 없습니다 (Peano 산술이 실제로 일치하지 않는 한,이 경우 훨씬 더 큰 문제가 발생합니다). 이것은 Gödel의 불완전 성 정리에서 따온 것입니다.
따라서 본질적으로 Peano 산술이 일관 적이라는 사실은 ZF에서 입증 된 모든 진술이 할 수있는 것처럼 철학적으로 당연한 것으로 받아 들여질 수 있습니다.