왜 모든 $|X\rangle\in H_1\otimes H_0$ 다음과 같이 쓰다 $|X\rangle=(X\otimes I_{H_0})|\Omega \rangle$ 일부 $X\in\mathcal L(H_0,H_1)$?
에서 양자 네트워크에 대한 이론적 틀 입증되는 선형지도$\mathcal{M} \in \mathcal{L}(\mathcal{H_0},\mathcal{H_1})$ Choi 연산자라면 CP (완전히 긍정) $M$반 명확한 양수입니다. 이 파생에서 뭔가 혼란 스럽습니다.
첫째, 몇 가지 정의 알림.
허락하다 $X \in \mathcal{L}(H_0,H_1)$, 허락하다 $\{|i \rangle \}_i$ 직교의 기초가된다 $H_0$, 우리는 :
$$ | \mathcal{I} \rangle \rangle \equiv \sum_i |ii \rangle$$ $$|X \rangle \rangle \equiv (X \otimes \mathcal{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$$
Choi 연산자는 다음과 같이 정의됩니다.
$$ M = \mathcal{M} \otimes \mathcal{I}_{H_0} | \mathcal{I} \rangle \rangle \langle \langle \mathcal{I} |$$
그의 증거에서 그는 $M \geq 0$ 목표는 그것이 의미하는 것을 보여주는 것입니다 $\mathcal{M}$ CP입니다.
$M$는 양의 고유 값을 가진 은둔자임을 의미하는 반 확정 양수입니다. 따라서 대각선으로 표시 될 수 있습니다. 와$\lambda_i \geq 0$, 우리는 :
$$ M = \sum_i \lambda_i |u_i \rangle \langle u_i |=\sum_i | K_i \rangle \langle K_i |$$
와 $|K_i \rangle = \sqrt{\lambda_i} |u_i \rangle$
그러나 그는 "자동으로"고려하는 것 같습니다 $|K_i \rangle = |K_i \rangle \rangle$. 이해가 안 돼요. 왜 우리는$|K_i \rangle = (K_i \otimes \mathcal{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$. 매우 특별한 경우입니다. 왜 상태가 최대로 얽힌 상태에 작용하는 로컬 연산으로 작성 될 수 있습니까?
모든 양자 상태를 다음과 같이 쓸 수있는 매우 모호한 메모리가 있습니다. $(K \otimes \mathbb{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$. 달리 말하면 항상 선형 연산이 존재합니다.$K$ (물론 반드시 단일성은 아닙니다) $H_1 \otimes H_0$ 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $K \otimes \mathcal{I} | \mathcal{I} \rangle \rangle$나는 그것이 문제를 해결할 것이라고 생각한다. 그러나 나는 그 원인을 찾을 수 없으며 완전히 틀릴 수 있습니다.
결국 우리는 왜 다음과 같이 쓸 수 있습니까? $|K_i \rangle = |K_i \rangle \rangle$. 나는 그 증거를 원합니다 (방금 이야기 한 재산이 보유하고 있다면 그것을 표현하는 참조에 대한 링크 또는 그에 대한 증거도 답변에 포함하고 싶습니다)
답변
허락하다 $K$ 벡터가되다 $$ |K\rangle=\sum_{ij}K_{ij}|i,j\rangle. $$ 이 ias를 다시 작성할 수 있습니다. $$ |K\rangle=\left(\left(\sum_{ij}K_{ij}|i\rangle\langle j|\right)|j\rangle\right)\otimes|j\rangle, $$ 그리고 이것은 $$ |K\rangle=K\otimes 1\sum_j|j,j\rangle=|K\rangle\rangle $$ 행렬을 정의하면 $K$ 되려고 $K=\sum_{ij}K_{ij}|i\rangle\langle j|$.
이미 Choi 행렬을 다음과 같이 정의했습니다. $M = \rho_{\mathrm{Choi}} = \left(\mathcal{M}\otimes I\right)(|\mathcal{I}\rangle\rangle\langle\langle\mathcal{I}||)$. 최대로 얽힌 상태를 다음과 같이 쓸 것입니다.$|\mathcal{\Omega}\rangle$ 나에게 더 읽기 쉽고 익숙하기 때문입니다.
당신은 이미 지적했습니다 $M$ 양의 준 유한이란 실수 값의 스펙트럼 분해를 수행 할 수 있음을 의미합니다.
$$ M = \sum_{i}\lambda_{i}|u_{i}\rangle\langle u_{i}| = \sum_{i}\sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle\langle u_{i}| \sqrt{\lambda_{i}}. $$ 우리는 이것들을 분해 할 수 있습니다 $\sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle$는 힐베르트 공간의 두 복사본에 대한 기저의 텐서 곱으로 변환됩니다. $$ \sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle = \sum_{l}|a^{i}_{l}\rangle \otimes |b^{i}_{l}\rangle, $$
즉, 다음과 같이 쓸 수 있습니다. \ begin {equation} \ begin {split} M = & \ sum_ {i} \ lambda_ {i} | u_ {i} \ rangle \ langle u_ {i} | = \ sum_ {i} \ sum_ {l} \ sum_ {m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes \ langle b ^ {i} _ {m} | \\ = & \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} |. \ end {split} \ end {equation}
아시다시피지도의 '출력'을 작성할 수 있습니다. $\mathcal{M}$ '입력'에 $\rho_{\mathrm{in}}$, 따라서 $\rho_{\mathrm{out}} = \mathcal{M}\left(\rho_{\mathrm{in}}\right)$, Choi 행렬의 관점에서 $M$:
$$ \mathcal{M}\left(\rho_{\mathrm{in}}\right) = d \mathrm{tr}_{2}\big[M\left(I \otimes \rho_{\mathrm{in}}^{T}\right)\big], $$ 여기서 추적은 두 번째 하위 시스템에 대한 부분 추적이고 $T$ 위첨자는 전치를 의미합니다.
이제 위의 분해를 $M$: \ begin {equation} \ begin {split} \ mathcal {M} \ left (\ rho _ {\ mathrm {in}} \ right) & = d \ mathrm {tr} _ {2} \ big [M \ left ( 나는 \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ right) \ big] \\ & = d \ mathrm {tr} _ {2} \ big [\ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} | \ left (I \ otimes \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ right) \ big] \\ & = d \ sum_ {i, l, m} \ mathrm {tr} _ {2} \ big [| a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} | \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ big] \\ & = d \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ langle b ^ {i} _ {m} | \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} | b ^ {i} _ {l} \ rangle \\ & = d \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ langle b ^ {* i} _ {l} | \ rho _ {\ mathrm {in}} | b ^ {* i} _ {m} \ rangle \\ & = d \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {* i} _ {l} | \ rho _ {\ mathrm {in}} | b ^ {* i} _ {m} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \\ & = \ sum_ {I} A_ {I} \ _ RHO, A_ {I} ^ {\ 검 {} \ mathrm {}에서} \ {단부 분할} \ {단부} 식 으로$A_{i} = \sum_{l}\sqrt{d} |a^{i}_{l}\rangle \langle b^{*i}_{l}|$. 이것은 단지 Kraus 분해입니다.$\mathcal{M}$ CP되는.
허락하다 $\newcommand{\kett}[1]{\lvert #1\rangle\!\rangle}\newcommand{\ket}[1]{\lvert#1\rangle}\ket m\equiv \sum_k \ket{k,k}$ (정규화되지 않은) 최대로 얽힌 상태를 나타냅니다.
관계 $\kett X=(X\otimes I)\ket m$단순한 인덱스 저글링에 해당합니다. 즉 , 동일한 객체, 즉 동일한 숫자 집합을 고려 하지만 다른 방식으로 해석하는 것입니다 (벡터가 아닌 연산자로).
이것을 보려면 $X\in\mathcal L(H_0,H_1)$ 당신의 연산자가 되십시오. $X_{ij}$. 이해할 수 있습니다.$X_{ij}$ 연산자로 ( "인덱스 보내기 $j$ 색인에 $i$") 또는 벡터로$H_0\otimes H_1$. 좀 더 공식적으로$\kett X$ "벡터 해석" $X$, 우리는 $$\langle i,j\kett X = X_{ij} =\langle i|X|j\rangle = \langle i,j|(X\otimes I)\ket m,$$ 우리가 사용한 곳 $\langle i,j|X\otimes I|k,\ell\rangle = X_{ik}\delta_{j\ell},$ 따라서 $\kett X=(X\otimes I)\ket m.$ 이것은 또한 종종 다음과 같이 작성됩니다. $\kett X=\operatorname{vec}(X)$,와 함께 $\operatorname{vec}:\mathrm{Lin}(\mathcal X,\mathcal Y)\to\mathcal Y\otimes\mathcal X$ "벡터화"작업.