왜 $R_t$ (또는 $R_0$) 그리고 Covid-19 확장을 측정하기위한 측정 기준을 두 배로 늘리거나 시간을 늘리지 않습니까?

Nov 26 2020

내 머릿속에서 다양한 크기의 인구에 걸쳐 전염병의 확장 속도를 측정하는 자연스러운 방법은 단순히 최근 감염 수 (모든 전략 포함)에 대한 지수를 맞추고 매개 변수를 얻는 것입니다. $C$ ...에 대한 $I(t) \approx e^{Ct}$. 이것은 배가 시간과 같은 유용한 실용적인 정보를 제공합니다.

내가 아는 바로는 유효 재생산 수 $R_t$ 관련이 있지만 같지 않은 수량입니다. $C$. 사실, 일부 간단한 모델에서는 $C$ 의 기능입니다 $R_t$ 평균 감염 기간 중 $\tau$. (말이되는$R_t$ 은 차원이없는 단위이며 시간을 다시 조정하여 하나씩 획득 한 두 가지 다른 전염병에 대해 동일합니다.

평균 감염 시간 $\tau$데이터에서 직접 추정 할 수없는 수량이며 외부 매개 변수로 제공되어야합니다. 이 매개 변수는 그 자체로 추정하기가 쉽지 않습니다. 예를 들어이 논문 의 초록 은$6.5 - 9.5$ Covid-19에 대한 일.

진정한 관계 $R_t$ 과 $C$ 감염 기간에 걸쳐 이러한 감염이 어떻게 분산되는지에 따라 달라지기 때문에 아마도 훨씬 더 복잡 할 것입니다.

직관적으로 추정의 어려움 $\tau$ 반영해야한다 $R_t$ 보다 큰 오차 막대가 $C$. 실제로 저는 미디어에서$R_t$엄청나게 큰 신뢰 구간 예를 들어, 인구 4 백만의 이탈리아 지역을위한이 기사는 이탈리아 신문 웹 사이트에 게재되었습니다.

그래서 여기 내 질문이 있습니다. 사용 하는 것이 더 간단하고 유용하지 않을까요?$C$(또는 동등하게, 배가 시간) 전염병의 확장 속도의 척도로? 이 수량은 다음과 같은 외부 매개 변수에 의존하지 않기 때문에 추정하기에 더 신뢰할 수 있습니다.$\tau$.

$R_t$ 전염병이 더 큰 경우 확산되는 속성이 있습니다. $1$, 그리고 그것이보다 작 으면 수축 $1$; $C$ 같은 속성을 가지고 $0$차별적 인 가치입니다. 따라서 쉬운 참조 값을 제공하는 관점에서 둘 다 똑같이 효과적입니다.

그렇다면 왜 많은 정부와 주 정부 기관에서 $R_t$ 속도보다는 $C$주요 조치로 사용하고 조치를 시행해야하는시기를 결정하는 데 사용합니까? 배가 시간보다 더 유용한 이유는 무엇입니까?

답변

7 S.CatterallReinstateMonica Nov 26 2020 at 18:53

확장 속도는 알아두면 유용하지만 $R_t$ 측정하기는 더 어렵지만 전염 과정에 대한 더 기계적인 설명을 제공하므로 질병 관리의 관점에서 더 유용합니다. $R_t$ 다음과 같이 공식화 될 수 있습니다.

$R_t=cp\tau S$,
어디서
$c$ 일반적인 사람이 다른 사람과 접촉하는 비율
$p$ 그 사람이 감염되기 쉬운 경우 연락 된 사람에게 전염 될 확률
$\tau$ 평균 감염 기간입니다
$S$ 취약한 인구의 비율입니다.

그래서 만약 $R_t$ 현재 $2$, 말하고 달성하기 위해 $R_t<1$ 우리는 줄일 수 있습니다 $cp$ (사회적 거리두기), $\tau$ (감염성 개인 격리) 또는 $S$ (예방 접종) 예 : $50\%$ 현재 감염되기 쉬운 인구의 비율은 통제를 달성하기에 충분할 것입니다.

8 ChristophHanck Nov 26 2020 at 17:31

OP의 제안에 따라 대답으로 내 의견은 다음과 같습니다.

나는 때에 $R\approx1$(예 : 글을 쓰는 시점 에 독일 에서 2020 년 11 월) 상황이 안정적이기 때문에 배가 시간은 거의 무한합니다. 물론, 언제$R$ 1보다 약간 높으면 더 이상 사실이 아니지만 $R$ 배가 시간의 매우 큰 변화를 의미해야합니다. 이는 전염병 상황의 변화를 전달하는 데 매우 효과적인 방법이 아닐 수 있습니다.

실제로, 유행성보고의 첫 번째 물결 동안 종종 두 배의 시간을 통해 발생했지만 첫 번째 물결이 통제 될 때 폐기되었습니다. 다음 은이 단계에 대한 소스 주석입니다 (독일어).

2 SextusEmpiricus Nov 26 2020 at 22:57

재생산 수의 관계 $R(t)$ 및 성장률 $C(t)$

성장률 $C(t)$ 그리고 $R(t)$ 매우 관련이 있습니다.

$C(t)$시간 단위당 성장률입니다. 감염이 얼마나 빨리 번식 하는지 나타냅니다 .

(배가 시간은 성장률과 관련이 있습니다. 역으로 참조 : 감염에 대한 배가 율을 계산하는 방법? )
$R(t)$각 세대가 곱하는 요소입니다. 감염된 사람마다 새로운 감염이 얼마나 많이 발생 하는지 나타냅니다 .

재생률 $R$각 단계에서 감염이 증가하는 요인을 알려줍니다. 그러나 동시에 감염된 사람들은 치유되거나 사망 할 것이며 순 성장은이 두 가지 효과를 함께 설명해야하기 때문에 다른 단위 (시간당이 아니라 세대당)의 성장률이 아닙니다.

그래서 $R(t)$성장률과는 약간 다른 이야기를합니다. SIR 구획 모델 의 경우 두 가지 비율을 고려할 수 있습니다.$\beta$ 새로운 감염이 발생하는 비율 $\gamma$감염이 사라지는 비율 (치유 또는 사망으로 인해). (순) 성장률은이 둘의 차이입니다$C= \beta -\gamma$. 재생률은이 둘의 비율입니다$R = \beta/\gamma$.

아래 이미지에서 성장에 대한 도식을 볼 수 있습니다. 노드는 감염된 사람을 나타내며 각 노드에서 다음에 감염 될 사람에게 선을 그립니다. 이 예에서는 모든 감염된 사람이 두 명의 새로운 사람을 감염시킵니다.

재생률 $R(t)$각 노드에 대한 링크 수입니다. 연쇄 반응의 곱셈 인자를 나타냅니다.
성장률 $C(t)$ (이 곡선이 시간에 따라 얼마나 빨리 상승하는지)는 각 세대 사이의 시간에 따라 달라집니다.

알고 있다면 $C(t)$, 그렇다면 연쇄 반응의 기본 구조를 아직 알지 못합니다. 연쇄 반응의 구조 (요약 / 간체 :$R(t)$) 확산의 메커니즘과 역학 (예방 접종 / 면역 또는 사회적 거리두기와 같은 환경 변화에 어떻게 반응하는지)을 이해하는 데 필수적 일 수 있습니다.

알고 있다면 $\tau$감염 사이의 시간 ( 예 : 연속 간격 또는 생성 간격으로 다르게 볼 수 있음 ) 다음 번식 횟수와 성장 속도를 연관시킬 수 있습니다.

$$ C(t) = \frac{R(t)-1}{ \tau }$$

또는

$$ R(t) = 1 + C(t) \tau$$

더 복잡한 모델에 대해 가능한 다른 관계가 있습니다. 요점은 주로 스케일 팩터에 의해 단순한 차이를 얻지 못한다 는 것입니다.$C(t) = \frac{R(t)}{ \tau }$. 그만큼$-1$ 용어는 당신이 성장 / 재생을 할뿐만 아니라 사람들이 좋아 지거나 죽어 가면서 감소하기 때문에 발생합니다.

Proc Biol Sci의 Wallinga와 Lipsitch의 "성장률과 번식 횟수의 관계를 설명하는 표준 작업은"세대 간격이 성장률과 번식 횟수 간의 관계를 형성하는 방법 "입니다 . 22-02-2007 Vol 274 : 1609 ). 생성 간격 분포와 모멘트 생성 함수를 이용하여 재생 횟수와 성장률을 연결$M(s)$ 이 분포의

$$R(t) = \frac{1}{M(-C(t))}$$

예를 들어 감마 분포를 사용하면 $M(s) = (1-s \frac{\mu_{\tau}}{k} )^{-k}$ 과

$$R(t) = \left( 1+ C(t) \frac{\mu_{\tau}}{k}\right)^{k} = 1 + C(t) \mu_{\tau} + \sum_{n=2}^\infty {k\choose n} \left(C(t) \frac{\mu_{\tau}}{k} \right)^n$$

이것은 $ R(t) = 1 + C(t) \tau$ 만약 $k = 1$ 다음과 같은 경우 (첫 번째 주문과 거의 동일) $|C(t)|\frac{\mu_{\tau}}{k} \ll 1$. (그래프에서 생성 간격은 실제로 퇴화 분포이며 결국$R = e^{\tau C(t)}$ 대신에 $ R(t) = 1 + C(t) \tau$)

왜 $R(t)$ 유용하다

$R(t)$ 연쇄 반응과 관련

그만큼 $R(t)$ 가치는 연쇄 반응 측면에서 성장의 기본 곱셈 메커니즘에 더 가깝기 때문에 중요합니다.

이 연쇄 반응은 각 이벤트가 1 이상의 비율로 여러 개의 새로운 이벤트를 유발하는 경우 증폭되며, 감염이 용해되는 것보다 더 많은 감염이 생성되는 경우 (눈덩이 효과 생성). 각 이벤트가 하나 미만의 새 이벤트를 유발하면 반응이 감소합니다.

측면에서 $\beta$ (신규 감염자 비율) 및 $\gamma$ (감염된 사람의 치유 또는 사망 비율) $\beta > \gamma$. 재생률$R = \beta / \gamma$ 변경 사항과 직접 관련 $\beta$(예방 접종 / 예방 접종 또는 사회적 거리두기로 인해 변경 될 수 있음). 만약$\beta$ 특정 요인에 의해 변화 $R$같은 요인으로 변경됩니다. 성장률$C= \beta-\gamma$ 효과가 어떤 것인지 직접적으로 명확하지 않습니다. $\beta$ 변화.

예를 들어 $\beta$ 절반으로 감소하면 이것은 성장률의 변화를 나타낼 수 있습니다 $C=\beta-\gamma$ ...에서 $3 = 4-1$ ...에 $1 = 2-1$또는 성장률의 변화를 나타낼 수도 있습니다. $3=9-6$ ...에 $-1.5=4.5-6$. 그것 자체의 성장률은 상대적인 변화 사이의 직접적인 연결을 허용하지 않습니다 .$\beta$그리고 이것이 성장률에 어떻게 영향을 미치는지. 반면에 재생률은$R =\beta/\gamma$ 그 상황에서 변화 $4$ ...에 $2$ 또는 $1.5$ ...에 $0.75$ 스프레드의 역학이 변경되면 (더 직접적으로 영향을받는) 연쇄 반응 (성장 대 감소)에 어떤 일이 일어날 지 더 명확하게 표현합니다. $\beta$).

연쇄 반응의 증식 인자로 볼 수있는 번식률을 통해 바이러스 역학의 변화 측면에서 증폭이 어떻게 변하는 지 더 잘 알 수 있습니다. 예를 들어, 번식률이 2이고 조치로 인해 (또는 더 많은 사람들이 면역화됨에 따라) 그 비율이 절반으로 감소하면 번식률은 1이되고 연쇄 반응이 중화됩니다.

성장률 $C$않습니다 하지 당신이 감소로 증가하는 성장을 변경하기 위해 확산 (곱셈 인자)를 감소해야하는 배를 말한다. 이는 성장률이 기본 연쇄 반응의 곱셈 인자에 대한 정보를 포함하지 않기 때문입니다.

따라서 성장률 은 바이러스가 확산되는 방식 을 설명 하는 보다 자연스러운 설명입니다 . 이는 각 세대에서 확산 비율이 어떻게 배가되는지를 나타냅니다.
무리 면역의 계산

직접 적용은 예를 들어 무작위 예방 접종 (예방 접종)을 통해 무리 면역에 도달하는 데 필요한 면역 수준을 계산하는 데 사용됩니다.
역학 곡선의 향후 개발

또 다른 유용한 효과는 번식률이 확산 률이 줄어들 기 전에 감염 될 사람의 수를 결정하는 데있어 성장률보다 더 나은 지표라는 것입니다. 그래프에서 바이러스는 세대마다 2 배씩 번식하지만 다른 사람들이 면역력을 갖기 때문에 속도가 느려집니다 (바이러스를 전염 할 사람이 줄어들고 증식이 감소합니다).

이것은 아래의 이미지에 나와 있습니다. 이 질문 은 다음 을 찾기 위해 성장 곡선을 맞추려고했습니다.$R(0)$그러나 좋은 핏을 찾는 데 어려움이있었습니다. 피팅 문제의 한 가지 이유는 다른 값에 대해 동일한 성장률을 가질 수 있다는 것 입니다.$R(0)$. 그러나 이미지에서 당신은 또한 시간이 지남에 따라$R(0)$ 가치는 역학 곡선에 강한 영향을 미칩니다.

감속은 $R(t)$1에 더 가깝습니다 (1에 가까울 때 1 이하가되기 위해서는 상대적으로 덜 떨어질 필요가 있습니다). 성장률은 번식 / 증식률이 1에 얼마나 가까운지를 나타내지 않습니다. 또는 다음과 같은 방식으로 볼 수 있습니다.$C(t) \propto R(t) -1$, 재생률 감소 $R(t)$ 어떤 요인에 의해 성장률이 다른 요인에 의해 감소합니다.
대체 측정 또한$R(t)$ 값은 다른 역학 매개 변수 (접촉률 등)를 기반으로 계산되거나 접촉 추적 데이터로 '현장'에서 측정 될 수 있습니다.

왜 $R(t)$ 별로 유용하지 않다

그만큼 $R(t)$가치는 매우 단순화 된 측정입니다. 대부분의 모델에서 이는 평균 재생산을 나타내지 만 현실은 불균질성이 있으며 이는 다음과 관련된 결론에 큰 영향을 미칠 수 있습니다.$R(t)$ (동일한 주장이 $C(t)$).