(완전히) 포지티브 맵이 일반 (완전히) 포지티브 맵과 비슷합니까?
허락하다 $\mathcal{H}$ Hilbert 공간을 나타내고 $B(\mathcal{H})$ 모든 경계 연산자의 대수를 나타냅니다. $\mathcal{H}$. (Banach) 듀얼을 인식함으로써$B(\mathcal{H})$ 추적 클래스 연산자의 이중 이중을 사용하여 Banach 공간 이론의 표준 결과를 사용하여 모든 경계 선형 함수 $\phi$ 의 위에 $B(\mathcal{H})$ 약하게 근사 할 수 있습니다$^*$(제한된) 추적 클래스 연산자에 의한 토폴로지. 다시 말해,$\phi$ 일반 선형 함수에 의해 근사화됩니다. $B(\mathcal{H})$. 내 질문은 다음과 같습니다.
선형 기능 $\phi$이고 긍정적 인 , 캔$\phi$약한 양의 정규 선형 함수 로 근사$^*$ 토폴로지?
또한 이것은 완전히 긍정적 인지도로 일반화 할 수 있습니까? 여기서 고려하는 토폴로지는 제한된 약한 토폴로지입니다. 더 구체적으로 말하자면$M$ 폰 노이만 대수입니다. $\Phi:M\to B(\mathcal{H})$ 경계가 약한 토폴로지의 정규 완전 양수 맵으로 근사 할 수 있습니까?
내가 처음 접하는 이러한 주제에 대한 일부 참고 자료는 감사하겠습니다. 감사합니다.
답변
또한 두 번째 질문에 대한 대답은 yes 이며 근사값을 선택하여 point-ultrastrong에 수렴 할 수 있습니다.$^*$ 토폴로지.
첫째, 유한 순위 직교 투영 망을 선택하여 $p_i \in B(\mathcal{H})$ 그런 $p_i \rightarrow 1$ 강력하게, 완전히 긍정적 인지도 $\Phi_i : M \rightarrow B(p_i H) : \Phi_i(a) = p_i \Phi(a) p_i$ 수렴하다 $\Phi$ 포인트 초강력$^*$토폴로지. 따라서 완전히 긍정적 인지도를 다루는 것으로 충분합니다.$\Phi : M \rightarrow M_n(\mathbb{C})$. 이것은 [BO, Corollary 1.6.3]에서 찾을 수 있습니다. [BO, 발의안 1.5.14],$$\omega : M_n(\mathbb{C}) \otimes M \rightarrow \mathbb{C} : \omega(A) = \sum_{i,j} \Phi(A_{ij})_{ij}$$긍정적 인 기능입니다. 그물을 선택하십시오$\omega_k$ 정상적인 긍정적 기능의 $M_n(\mathbb{C}) \otimes M$ 포인트로 수렴하는 $\omega$. 다시 [BO, 발의안 1.5.14]에 의해 완전히 긍정적 인지도의 그물이 있습니다.$$\Phi_k : M \rightarrow M_n(\mathbb{C}) : (\Phi_k(a))_{ij} = \omega_k(e_{ij} \otimes a) \; .$$ 건설,지도 $\Phi_k$ 정상이며 수렴 $\Phi$ 포인트 노름 토폴로지에서.
[BO] NP Brown 및 N. Ozawa, C$^*$-대수 및 유한 차원 근사. 수학 대학원 연구 88 . 미국 수학 학회, 프로비던스, 2008.
첫 번째 질문에 대한 대답은 ' 예' 입니다. 이는 다음과 같은보다 일반적인 결과에서 비롯됩니다.
용어 I : 주문 된 Banach 공간. (A)에 의해 사전 주문 바나 흐 공간 나는 한 쌍을 의미$(X,X_+)$ 어디 $X$ 실제 Banach 공간이며 $X_+$ 비어 있지 않은 닫힌 하위 집합입니다. $X$ 그런 $X_+ + X_+ \subseteq X_+$ 과 $\alpha X_+ \subseteq X_+$ 각 스칼라에 대해 $\alpha \ge 0$ (다시 말해: $X_+$소위 쐐기 입니다$X$.)
듀얼 웨지 의$X_+$ 쐐기입니다 $$ X'_+ := \{x' \in X': \, \langle x',x \rangle \ge 0 \text{ for each } x \in X_+\}. $$ 참고 $(X', X'_+)$사전 주문한 Banach 공간이기도합니다. 또한, 각각$x \in X$ Hahn-Banach 정리에 따르면 $x \in X_+$ 경우에만 $\langle x', x\rangle \ge 0$ 각각 $x' \in X'_+$.
이 절차를 반복하여 이중 이중 웨지를 정의 할 수도 있습니다. $X''_+$ 의 $X_+$ 에 $X''$.
용어 II : Polars Let$\langle X,Y\rangle$두 개의 실수 벡터 공간의 이중 쌍이어야합니다. 다시 말해,$\langle \cdot, \cdot \rangle: X \times Y \to \mathbb{R}$ 다음과 같은 쌍 선형지도입니다. $X$ 분리하다 $Y$ 과 $Y$ 분리하다 $X$ 이지도를 통해.
모든 하위 집합 $A \subseteq X$ 하위 집합 $$ A^\circ := \{y \in Y: \, \langle x, y \rangle \le 1 \text{ for all } x \in A \} $$ 의 $Y$호출되어 극성 의를$A$ 에 $Y$. 마찬가지로 각 세트에 대해$B \subseteq Y$ 하위 집합 $$ {}^\circ B := \{x \in X: \, \langle x, y\rangle \le 1 \text{ for all } y \in B \} $$ 의 $X$호출되어 극성 의를$B$ 에 $X$.
이제 양극성 정리 (예를 들어 HH Schaefer의 책 "Topological vector spaces"(1971)의 126 페이지에있는 정리 참조)는 다음과 같이 말합니다.
정리. 소위 양극성 $\left({}^\circ B \right)^\circ$ 부분 집합의 $B \subseteq Y$ 볼록 껍질의 폐쇄입니다 $B \cup \{0\}$ 토폴로지와 관련하여 $Y$ 에 의해 유도 $X$ 이중성 매핑을 통해 $\langle \cdot, \cdot \rangle$.
이제이 결과를 선주문 된 Banach 공간에 적용 할 수 있습니다.
자신의 이중 듀얼 웨지에서 웨지의 밀도 하자$(X,X_+)$ 선주문 된 Banach 공간이어야하며 $X_+$ 하위 집합 $X''_+$ 평가를 통해.
정리. 웨지$X_+$ 약하다${}^*$-이중 이중 쐐기의 밀도 $X''_+$.
증명. 우리는 이중 쌍을 고려합니다.$\langle X', X'' \rangle$일반적인 이중성과 관련하여. 그런 다음 극성이$X_+ \subseteq X''$ 에 $X'$ 음의 이중 웨지와 같습니다. $-X'_+$. 마찬가지로 극지$-X'_+$ 에 $X''$ 이중 이중 웨지와 동일 $X''_+$. 따라서 양극성 정리는$X''_+$ 약하다${}^*$-폐쇄 $X_+$ 에 $X''$.
말. 나는 우리가 단위 공과 쐐기를 교차하는 경우에도 동일하게 작동한다고 믿습니다.$X_+$ 유닛 볼은 약하다${}^*$-교차로 밀도 $X''_+$단위 공으로. 그래도 세부 사항은 확인하지 않았습니다.
OP의 첫 번째 질문에 적용. 우주$B(\mathcal{H})$ 자체 인접 연산자의 공간이 복잡해집니다. $\mathcal{H}$. 따라서 위의 일반적인 결과를 적용하려면$X$자체 인접 연산자에 적용될 때 실제 값을 생성하는 모든 추적 클래스 연산자의 집합이됩니다. 그때$X'$ 단순히 자기 인접 부분입니다. $B(\mathcal{H})$, 및 $X''$ 모든 경계 선형 함수의 집합입니다. $B(\mathcal{H})$자체 인접 연산자를 실제 값에 매핑합니다. 웨지$X_+$, $X'_+$ 과 $X''_+$이 공간의 표준 원뿔입니다. 위에서 본 이후$X_+$ 약하다${}^*$-고밀도 $X''_+$, 이것은 원하는 결과를 산출합니다.