"위상"상자에있는 입자의 경계 조건
상자 안에있는 입자의 경계 조건 (상자는 가치있는 잠재력) $0$ 간격에 $[0,L]$ 그리고 다른 모든 곳에서 무한) $\psi(0) = \psi(L)=0$. 입자가 상자 외부에있을 수 없기 때문에 파동 함수는 0이어야하므로 연속성에 의해 경계 조건이 유지됩니다.
그러나 인위적으로 제한된 간격을 고려하지 않으면 $\mathbb{R}$, 대신에 독점적으로 정의 된 힐베르트 공간 $[0,L]$? 이것은 경계 조건이 없다는 점을 제외하면 정확히 동일한 문제입니다. 상자 외부에는 제로 파동 함수가 없기 때문에 (외부가 존재하지 않기 때문에) 파동 함수가 경계에서 0이된다고 주장 할 수 없습니다. . 그러므로 내 질문은 이것이 사실이어야하는 또 다른 이유가 있는가, 아니면 파동 함수가 평면파와 같이 어떻게 든 "무료"인가?
저는 이것이 실제적인 의미를 가지고 있다고 믿습니다. 슈뢰딩거 방정식을 구면 좌표로 풀면 좌표를 얻게됩니다. $r$ 순전히 정의 된 $r>0$. 자유 입자를 풀면 방사형 성분이 구형 Bessel 함수에 의해 주어짐을 알 수 있습니다.$j_l$. 언제$l=0$, 파동 기능은 원점에서 사라지지 않습니다. 나에게 우리는 지금 "잃어버린"것 같습니다$r=0$경계 조건 (이미 별개의 고유 상태 집합을 얻었음에도 불구하고), 이것은 문제가되지 않는 것처럼 보입니다. 이 추론을 상자의 양쪽 끝에 적용하는 것이 의미가 있습니까? 그렇다면 대답은 우리에게 무엇을 말합니까?
답변
입자가 상자 외부에있을 수 없기 때문에 파동 함수는 0이어야하므로 연속성에 의해 경계 조건이 유지됩니다.
파동 함수 $\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{L}}$균일 한 공간 확률 밀도를 생성하는, Hilbert 공간이 실제로 $L^2\big([0,L]\big)$. 경계 조건$\psi(0)=\psi(L)=0$ Hilbert 공간에 대한 제한이 아니라 (또는 그럴 필요는 없습니다) Hamiltonian의 영역에 대한 제한입니다.
즉, Hamiltonian 연산자는 선형 맵입니다. $\hat H : \mathcal D(\hat H)\mapsto L^2\big([0,L]\big)$, 어디
$$\mathcal D(\hat H) := \bigg\{\psi \in L^2\big([0,L]\big) \ \bigg| \ \psi\text{ is twice (weakly) differentiable and }\psi(0)=\psi(L)=0\bigg\}$$ $$\hat H \psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \psi''$$
이것은 경계 조건이 없다는 점을 제외하면 정확히 동일한 문제입니다. 상자 외부에는 제로 파동 함수가 없기 때문에 (외부가 존재하지 않기 때문에) 파동 함수가 경계에서 0이된다고 주장 할 수 없습니다. .
경계 조건이 없으면이 Hamiltonian은 Hermitian이 아닙니다 (확인!). 경계 조건의 한 가지 가능한 선택은 다음과 같습니다.$\psi(0)=\psi(L)=0$; 이것은 상자의 입자를 정의합니다. 반면에 주기적 경계 조건$\psi(0)=\psi(L)$ 과 $\psi'(0)=\psi'(L)$ 반지에있는 입자에 해당하는 완벽하게 잘 정의 된 (및 Hermitian) Hamiltonian을 생성합니다.
무한 벽이있는 무한 선의 경우 QM은 원칙적으로 전체 공간에 정의됩니다. 그러나 파동 함수는 전위의 모든 곳에서 0이고 가장자리에서 연속성에 의해 0이되어야합니다.
이것을 말하는 방법은
$$\mathcal H := \bigg\{\psi\in L^2(\mathbb R) \ \bigg| \ \psi(x)=0\text{ for } x\notin [0,L]\bigg\}$$
힐베르트 공간을 구성$^\dagger$. 그러면 우리는 (자기 결합) Hamiltonian을 자유롭게 선택할 수 있습니다.$\hat H:\mathcal D(\hat H) \rightarrow \mathcal H$, 어디 $$D(\hat H) := \bigg\{\psi \in \mathcal H \ \bigg| \ \psi\text{ is twice (weakly) differentiable}\bigg\}$$ $$\hat H \psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\psi''$$
이렇게하면 두 가지 결과가 나타납니다.
- 차별성 요구 사항 $\mathcal D(\hat H)$ 연속성을 의미합니다. $\psi(0)=\psi(L)=0$. 이는 다음의 벡터 에만 해당됩니다.$\mathcal D(\hat H)$, 임의의 벡터가 미분 성 요구 사항을 충족 할 필요가 없기 때문입니다.
- $\hat H$ Hermitian입니다. $\psi(\pm \infty) = 0$ 우리가 작업하고있는 힐베르트 공간의 정의에 따라.
큰 그림에서 작업 할 때 (즉, 간격은 전체 우주), 선험적 경계 조건이 없습니다. 경계 조건 (임의적)을 가져와야하거나 시스템이 잘못 정의되어 있습니다. 맞습니까?
Hamiltonian 영역 에는 선험적 경계 조건 이 없습니다 . 우주에서$L^2\big([0,L]\big)$, 경계 조건으로 도메인을 적절하게 제한하지 않는 한 자유 입자 Hamiltonian이 Hermitian이 아님을 알 수 있습니다. 다시 말하지만, 이러한 경계 조건이 전체 힐베르트 공간에 적용되는 것이 아니라 힐베르트 공간의 요소에만 적용된다는 점을 강조해야합니다.$\hat H$ 행동이 허용됩니다.
$^\dagger$사실과 관련된 약간의 미묘함이 있습니다. $L^2(\mathbb R)$함수가 아니라 동등한 함수 클래스 로 구성됩니다 ( 예 : 여기 참조). 그러나 이것은 현재 논의에서 문제가되지 않습니다.
힐베르트 공간의 선택은 실제 시스템의 세부 사항이 아니라 설명하려는 상태의 자유도에만 의존합니다. 이 경우 일부 입자가 한 차원으로 이동하는 것을 고려하므로 Hilbert 공간은 결국 입자를 상자에 넣었는지, 고조파 오실레이터 또는 다른 잠재력에 넣었는지에 관계없이 1D에서 허용 가능한 파동 함수의 공간이어야합니다. [0, L]의 함수 공간은이 작업을 수행 할 수 없습니다.
물론, 수학적으로 [0, L]에 대한 파동 함수의 힐베르트 공간에서 상태를 고려하는 것을 막을 수있는 것은 없습니다. 위에서 언급 한 것처럼 특별히 의미가 없습니다. 힐베르트 공간에서 우리는 어쨌든 공간의 특정 영역에 본질적으로 제한되는 입자 만 설명 할 수 있습니다. [0, L]에 대한 파동 함수의 힐베르트 공간에서 입자는 실제로 경계 조건이없고 자유 입자처럼 동작하지만 상자 전위가 "우주의 일부"가 아니기 때문입니다.