원의 반지름의 합이

Question

$ABCD$순환 사변형입니다. 삼각형 내부에 그려진 원의 반지름의 합이$\Delta ABC$ 과 $\Delta CDA$ 삼각형 내부에 그려진 원의 반지름의 합과 같습니다. $\Delta BCD$, $\Delta DAB$.

사용할 수 있다는 아이디어를 내놓았습니다. https://en.wikipedia.org/wiki/Japanese_theorem_for_cyclic_quadrilaterals중심 사이의 거리가 같다는 것을 증명하기 위해 – 그들은 직사각형을 만듭니다 –하지만 저는 그것을 풀 수 없습니다. 도와주세요.

Answer 1

힌트. Carnot의 정리 사용 : 주어진 삼각형$\Delta ABC$, 허락하다 $O$ 주변 중심을 나타내며, $R$ 그 외접 반경 $r$그것의 반경. 허락하다$O_1,O_2,O_3$ 또한 직교 투영 $O$ 위에 $BC, CA, AB$각기. 그런 다음 우리는$$OO_1+OO_2+OO_3=R+r$$ 고시 : 세그먼트 $OO_i$ 다음과 같은 경우 음수로 간주됩니다. $OO_i$ 완전히 밖에있다 $\Delta ABC$그렇지 않으면 긍정적입니다.

여기,$\color{blue}{OO_2}$ 부정적이지만 $\color{red}{OO_1, OO_3}$긍정적입니다. 편의를 위해$AB=:c, BC=:a, CA=:b$. 그것을주의해라$OO_3BO_1$ 는 순환 사변형이므로 $\angle BO_3O+\angle OO_1B=90^\circ+90^\circ=180^\circ$따라서 추론하기 위해 프톨레마이오스 정리를 사용할 수 있습니다. $$\begin{align*}OB\cdot O_1O_3&=OO_3\cdot BO_1+O_3B\cdot OO_1\\\iff R\cdot \frac{b}2&=OO_3\cdot \frac{a}2+\frac{c}2\cdot OO_1\end{align*}$$유사하게 \ begin {cases} R \ cdot a = OO_3 \ cdot b + OO_2 \ cdot c \\ R \ cdot b = OO_1 \ cdot c + OO_3 \ cdot a \\ R \ cdot c = OO_2 \ cdot a + OO_1 \ cdot b \ end {cases}

이것들을 더하고 잘 알려진 방정식을 고려하십시오. $$r\cdot (a+b+c)=2\cdot [\Delta ABC]=OO_1\cdot a+OO_2\cdot b+OO_3\cdot c$$ (지금 복용하는 것이 왜 중요한지 아십니까? $OO_2$음수?). 첫 번째 부분은$\Delta ABC$중심을 꼭지점으로하는 세 개의 삼각형으로. 두 번째 부분은 사소합니다. $$\begin{align*}R\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (b+c)+OO_2\cdot (c+a)+OO_3\cdot (a+b)\\ R\cdot (a+b+c)+r\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (a+b+c)+OO_2\cdot (a+b+c)+OO_3\cdot (a+b+c)\\\iff R+r&=OO_1+OO_2+OO_3\end{align*}$$

이제 문제로 돌아 가면이 보석이 있으면 완료하는 것이 다소 쉽습니다. :)

(이미지를 참조 할 것입니다.) Carnot의 정리를 두 번 사용하는 것에 유의하십시오. $\Delta ABD$ 그리고 다시 $\Delta BCD$, 우리는 $$R+r_1=OO_1+OO_5+OO_4\qquad \text{and}\qquad R+r_2=OO_2+OO_3+OO_5$$ 그것을주의해라 $OO_5$ 부정적이다 $\Delta ABD$ 그리고 긍정적 $\Delta BCD$. 따라서이 두 방정식을 추가하면$$r_1+r_2=OO_1+OO_2+OO_3+OO_4-2R$$ 이 표현이 동일하다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. $r_3+r_4$.