원뿔은 이차와 어떤 관련이 있습니까? 2가 특별한 이유는 무엇입니까?
나는 항상 원뿔 섹션의 매우 비 분명하게 관련이있는 두 가지 정의에 대해 잔소리를 해왔습니다 (즉, 원뿔 조각이 2 개의 변수에서 차수 2 방정식과 관련되어 있다는 것이 너무 신비스럽고 마술처럼 보입니다). 최근에 다음 페이지 / 비디오를 보았습니다.
- 원뿔 곡선을 이해하려는 욕구를 다시 불러 일으킨 타원 에 대한이 3B1B 비디오
- 2 차 방정식이 오른쪽 원추형 단면과 동일한 이유는 무엇입니까? ,이 질문을 해결하기 위해 매우 계산적인 접근 방식을 제공합니다.
- 피타고라스 트리플 시각화에 대한 또 다른 3B1B 비디오 (즉, 원의 합리적 포인트 찾기)
- 그리고 Manjul Bhargava의 Birch-Swinnerton-Dyer 추측에 대한 강의. 여기서 10-15 분은 원뿔에 대한 합리적 점의 문제에 대한 완전한 해결책을 논의합니다.
3B1B의 비디오는 기하학적 관점에서 볼 때 의미가 많고 매우 아름답지만 다른 원뿔 곡선에 대해 이야기하거나 "degree 2"와의 관계를 논의하지 않습니다. 더욱이, 제가 연결 한 2 차 3B1B 비디오와 Bhargava의 강의는 더 높은 학위에 비해 우리가 잘 이해하는 것으로 "degree 2"를 강조합니다 (Fermat의 마지막 정리와 이에 대한 솔루션의 부재를 상기시켜줍니다.$n>2$).
따라서 내 질문은 다음과 같습니다.
- 직관적 인 관점에서 원뿔이 2 차 대수 방정식의 0 세트와 깊이 관련 될 것으로 예상해야하는 이유는 무엇입니까?
더 일반적으로 :
- "2"가 그렇게 특별한 이유가 있나요? 나는 종종 "수학은 혼란스러운 것을 선형 대수로 바꾸는 것"이라는 말을 자주 들었다. 선형 대수는 "수학자가 완전히 이해하는 유일한 주제"이기 때문이다. 그러나 우리는 또한 2 차에 관한 좋은 것들을 많이 이해하는 것 같습니다. 앞서 언급 한 원뿔과의 관계, 합리적 점에 대한 완전한 이해, 그리고 피타고라스 정리 (오! 그리고 저는 2 차 상호성에 대해 생각했습니다)를 가지고 있습니다.
물리학의 많은 방정식이 2 (2 차 미분)와 관련되어 있다는 점도 흥미 롭습니다. 공유 해주신 아이디어에 감사드립니다!
답변
원뿔 자체는 이차입니다! 2 개가 아닌 3 개의 변수 만 있습니다. 더 정확하게 말하면, 원추형 표면 은 다음 과 같은 "퇴화 쌍곡선 "입니다.
$$x^2 + y^2 - z^2 = 0.$$
원뿔 섹션을 취하는 것은 원뿔과 평면을 교차하는 것에 해당합니다. $ax + by + cz = d$, 이는 세 변수 중 하나를 다른 두 변수와 상수의 선형 조합으로 대체하여 두 변수에서 2 차를 생성합니다. 가장 쉽게 볼 수있는 것은$z$ 상수로 대체됩니다. $r$ 그러면 우리는 원을 얻습니다 $x^2 + y^2 = r^2$ (이것이 위의 방정식을 만드는 방법입니다. 원뿔은 슬라이스가 $z = \pm r$ 반지름의 원 $r$). 비슷하게$x$ 또는 $y$ 상수로 대체되어 쌍곡선을 얻습니다.
왜 이차가 큐빅보다 훨씬 더 이해하기 쉬운 지에 대해 설명 할 완전한 그림이 있는지 모르겠습니다. 가장 간단한 말은 2 차 형태 가 정사각형 (대칭) 행렬과 밀접하게 관련되어 있다는 것입니다.$M$, 쓸 수 있기 때문에 $q(x) = x^T M x$. 그리고 우리는 정사각형 행렬을 이해하기위한 많은 도구를 가지고 있으며,이 모든 것들은 스펙트럼 정리 와 같은 2 차 형태를 이해하기 위해 가져갈 수 있습니다 . 큐빅 형태에 해당하는 객체는 도입니다.$3$ 분석하기 어려운 텐서 .
아마 꽤 어리석은 말은 $2$ 다음과 같지 않은 가장 작은 양의 정수이기 때문에 특별합니다. $1$. 그래서 2 차는 선형이 아닌 가장 단순한 것입니다.
원뿔이란 무엇입니까?
중심 축에 수직 인 모든 횡단면이 원이되고이 횡단면의 반지름은 원뿔의 꼭지점으로부터의 거리에 비례하여 원을 그리도록하는 솔리드입니다.
그리고 그게 다야. 원뿔의 표면은 점입니다$(x,y,z)$ 어디 $z = h= $ 단면의 높이 $= r = $횡단면의 반경. 과$(x,y)$ 반지름이있는 원의 점입니다. $r = h = z$.
원의 방정식은 $\sqrt{x^2 +y^2} = r$ 또는 $x^2 + y^2 = r^2$ 원뿔의 방정식은 $x^2 + y^2 = z^2$.
모든 원추형 섹션은 원뿔과 평면을 교차하는 문제입니다. 평면은 구속에 의해 관련되는 세 가지 변수의 제한입니다.$ax +by + cz= k$ 그리고 그것은 세 번째 변수를 다른 두 변수의 선형 조합으로 표현하는 문제입니다.
따라서 평면과 원뿔의 단면은 2도 방정식의 파생물이됩니다. $x^2 = y^2 = z^2$여기서 변수 중 하나는 다른 두 변수의 선형 조합이됩니다. 즉, 두 개의 변수가있는 2 차 방정식입니다.
그리고 그게 전부입니다.
물론 진짜 질문은 왜 원 의 방정식인가 $x^2 + y^2 =r^2$? 및 왜 그 제 정도 방정식 같은 중요한 표현?
그리고 그것은 전적으로 피타고라스 정리 때문입니다. 우리가 어떤 점을 취한다면$(x,y)$ 비행기에서 세 가지 점을 고려하십시오 $(x,y), (x,0)$ 과 $(0,0)$직각 삼각형의 세 꼭지점에 대한 것입니다. 이 삼각형의 다리는 길이입니다$x$ 과 $y$ 따라서 피타고라스 정리에 의해 빗변의 길이는 $\sqrt{x^2 + y^2}=h$ 그리고 그것은 $(x,y)$ ...에 $(0,0)$.
이제 원은 거리가 $(x,y)$ ...에 $(0,0)$ 상수 값입니다. $r = h$. 그리고 그것은 모든 포인트가 될 것입니다$(x,y)$ 어디 $\sqrt{x^2 + y^2} =r$.
그리고 그게 다야. 그래서 거리는 직각 삼각형, 직각 삼각형은 2 차 방정식, 원은 거리, 원뿔은 원, 그리고 모두 2 차 방정식과 관련이 있습니다.
그게 다야.
근사한 이유는 원뿔이 원을 기반으로 하고 원이 2 차 방정식으로 주어지기 때문입니다.
$$x^2 + y^2 = r^2$$
. 이제 원이이 방정식을 갖는 이유에 관해서는, 원이 주어진 중심으로부터 일정한 거리에있는 모든 점들의 집합 인 유클리드 거리 함수와 관련이 있기 때문입니다. 특히,
$$d(P, Q) = \sqrt{|Q_x - P_x|^2 + |Q_y - P_y|^2}$$
유클리드 메트릭이이 형식을 갖는 이유에 관해서는 다음과 같이 귀결된다고 말할 수 있습니다. 이에 대해 좀 더 자세히 알아 보려면 좀 더 일반적인 형태의 메트릭을 고려하는 것이 좋습니다.
$$d_p(P, Q) := \left(|Q_x - P_x|^p + |Q_y - P_y|^p\right)^{1/p}$$
호출 $p$-실제로 "제곱 이 2가 되지 않게 하면 어떻게 될까요?"라는 질문의 결과이며이 질문에 답하는 데 적합합니다.
그리고 그것은 $d_2$매우 특별한 속성이 있습니다. 기하학적 개체를 가져 와서 피벗으로 선언 한 다음 해당 개체의 다른 지점을 가져와 태그를 지정하고 피벗에서 태그 지점까지의 거리를 측정하고 이제 해당 개체를 변환 할 수있는 유일한 개체입니다. 이러한 방식으로 중심은 고정 된 상태로 유지되고 태그 포인트는 동일한 거리에서 다른 방향을 향하게되지만 전체 개체의 전체 크기와 모양은 변경되지 않습니다. 또는 달리 말하자면, "회전"과 같은 것은 경직된 동작 인 것처럼 기하학적으로 의미가 있습니다.
그렇다면 원뿔이 2 차인 궁극적 인 이유 는 무엇 입니까? 유클리드 공간에서는 크기와 모양을 변경하지 않고 원하는 방식으로 사물을 회전 할 수 있기 때문입니다.
이 데이비드 멈 퍼드의 논문 준비의 수준에 따라 읽기 어려울 수 있습니다.
이 논문의 요점은 모든 다항 방정식 시스템을 2 차 및 선형 방정식 시스템으로 대체 할 수 있다는 것입니다 (더 많은 변수와 방정식을 추가함으로써) .
다항식 시스템에 매개 변수가있는 경우 이러한 매개 변수 가 선형 방정식 에만 나타나 도록 보장 할 수 있음을 보여주기 위해이를 추가로 일반화 할 수 있습니다 .
이것의 아주 특별한 초기 사례는 당신이 언급 한 것입니다.
물리학에서 "2"가 특별한 이유는 힘과 가속도 (속도가 아님) 를 연관시키는 뉴턴의 2 번째 법칙이며 2 차 도함수입니다. 음, 역 제곱 법칙에서 "2"의 역할도 있습니다.
"2"가 여러 변수의 2 차 형태를 통해 기하학에서 특별한 이유는 여러 변수의 2 차 형태가 몇 가지 좋은 속성을 가지고 있기 때문입니다.
- 모든 교차 항을 제거하기 위해 모든 2 차 형식을 대각선화할 수 있으므로 대각선 2 차 형식의 경우에 집중할 수 있습니다. $a_1x_1^2 + \cdots + a_nx_n^2$. (엄밀히 말하면 이것은 특성 분야에 대한 2 차 형태에 해당되지 않습니다.$2$, 그러나 당신은 특성에서 기하학적 직관을 얻지 못합니다 $2$.) 이와는 대조적으로 큐빅 형태는 대각선으로 표시되지 않을 수 있습니다. $\mathbf C$. 예를 들어, 큐빅 형식$y^2z - x^3 + xz^2$ (비 균질화 된 형태로 설정된 0은 방정식으로 주어집니다. $y^2 = x^3 - x$) 대각선화할 수 없습니다. $\mathbf C$: 여기에서 내 의견을 참조 하십시오.
모든 비 특수 2 차 형태는 반사 구조 덕분에 많은 자동 형태를 갖습니다 . 이차 형태의 직교 그룹이라고합니다. 이와 대조적으로 고차 동질 다항식의 "직교 그룹"은$f(\mathbf x)$ (즉, 선형 변환 그룹을 의미합니다. $A$ 다항식 보존 : $f(A\mathbf x) = f(\mathbf x)$)는 종종 유한합니다. 예를 들어 $x_1^n + \cdots + x_n^n$ ...에 대한 $n \geq 3$ 좌표 순열 및 좌표에 $n$통일의 뿌리.
기하학의 기본은 대칭적인 쌍 선형 관계가 되고자하는 직교성의 개념입니다. $v \perp w$ 경우에만 $w \perp v$, 그리고 $v \perp w$ 과 $v \perp w'$ 그때 $v \perp (ax + a'w')$ 모든 스칼라 $a$ 과 $a'$. 이것은 쌍 선형 형태를 보는 것을 제안합니다$B(v,w)$ 벡터 공간에서 관계가 $B(v,w) = 0$ ( "의 추상 버전$v \perp w$")는 대칭입니다. $B$대칭 또는 교대입니다. 첫 번째 경우는 특성 외부입니다.$2$, 2 차 형태 연구와 밀접한 관련이 있음 $Q(v) = B(v,v)$.
인덱스 번호 2는 거리에서 각도를 정의 할 수있는 방식과 관련하여 특별합니다.
정의 할 수있는 가능한 거리 함수 (표준)가 많이 있지만 대부분은 일관된 방식으로 각도를 정의 할 수 없습니다. 각도는 내적 (내적)에서 정의되며 노름이 2 차 표현식을 따르는 경우에만 정의됩니다.$$||u+v||^2+||u-v||^2=2||u||^2+2||v||^2$$ 모든 벡터 $u$ 과 $v$.
규범이 다른 공간에서는 회전 수가 적습니다. 원 또는 구의 가능한 회전 수는 한정되어있을 수 있습니다. 3D의 "원뿔"$(x,y,z)$ 정의 $||x+y||=||z||$ 여전히 평면과 (비 2 차) 곡선 군에 의해 교차 될 수 있습니다.
일반적인 기하학에서는 각도가 정의되어 있으므로 길이로 만족해야하는 2 차 표현식이 있습니다.