약한 $L^p$ 부호 함수의 부분 선형 근사에서 한계까지 전달하기위한 수렴?

Question

중히 여기다 $$ S_\epsilon(\xi) = \begin{cases} 1 & \text{ if } \xi > \epsilon \\ \xi/\epsilon &\text{ if } |\xi| < \epsilon \\ -1 &\text{ if } \xi < - \epsilon \end{cases}$$ 그것은 평활화 된 버전입니다 $\mathrm{sign}$ 함수.

한다고 가정 $u_n \to u$ 약하게 $L^p([0,1])$ 모든 $p \in [1,\infty]$ 같이 $n \to \infty$. 사실인가요$S_\epsilon(u_n-1) \to S_\epsilon(u-1)$ 일부에서 약하게 $L^p$?

Answer 1

가정 $\epsilon \le 1$. 의 위에$[0,1]$, 허락하다 $$ u_n(x) = \cases{ 4 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j} {2n}, \ tfrac {2j + 1} {2n} \ right)$\\ 0 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j + 1} {2n}, \ tfrac {2j + 2} {2n} \ right)$. } $$ 그때 $u_n \rightharpoonup 2$ 에 $L^p([0,1])$ ...에 대한 $1 \le p < \infty$,하지만 $S_\epsilon(u_n-1) \rightharpoonup 0 \ne \epsilon = S_\epsilon(2-1)$.

확실하지 않음 $p = \infty$, 그러나 나는이 반례가 효과가 있는지 의심합니다.