양자 단일 변환
양자 역학에서 우리는 $\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar}H\psi$,
하지만 왜 $U\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar} \left(UHU^\dagger \right) U\psi$?
의미합니까 $UHU^\dagger = H$? 나는 생각한다$UU^\dagger H = H$하지만 여기서 행렬의 순서를 변경할 수있는 이유는 무엇입니까?
답변
당신은 이것을 지나치게 생각하고 있습니다. $U$ 단일성 :
$$ U\dot\psi= -\frac{i}{\hbar} UH\psi=-\frac{i}{\hbar} UH\mathbb 1\psi= -\frac{i}{\hbar} UHU^\dagger U\psi.$$
$U$ 시간 진화 연산자 일 필요도없고 $H$이것이 작동하려면 어떤 단일성이 될 수 있습니다. 이것은 단지 당신이 쓰면$\psi$다른 기초에서 그것은 새로운 기초로 쓰여진 Hamiltonian과 함께 진화합니다. (또는 회전 된 벡터는 회전 된 Hamiltonian과 함께 진화합니다).
Hamiltonian의 경우 $\hat{H}$ 시간에 의존하지 않고 $U$ 시간-진화 연산자 여야합니다. $$\hat{U}~=~\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t\right),\tag{A}$$ 어느 통근$^1$ 와 $\hat{H}$, 그래서 $$UHU^{\dagger} ~=~ H,\tag{B}$$cf. OP의 질문입니다.
Hamiltonian의 경우 $\hat{H}$시간에 의존하고 eqs. (A) 및 (B)를 수정해야합니다. 참조. 예 : 이 Phys.SE 게시물.
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$^1$ 기능 $f(\hat{H})$ 의 $\hat{H}$ 통근 $\hat{H}$, 참조. 예 : this & this Phys.SE posts.
user2723984가 정확합니다. 그러나 귀하의 질문의 두 번째 부분은 해결되지 않았습니다. Hamiltonian이 다른 시간에 통근하는 경우 유일한 연산자$U$ 이다 $H$ 그리고 $H$ 자신과 통근하는 경우 운영자의 순서가 변경 될 수 있습니다.