요소가 하나 인 필드가없는 이유는 무엇입니까? [복제]

Question

이것은 여기 에서 요청 되었지만 답변 된 것으로 표시되었으며 질문에 대한 답변을받은 적이 없거나 적어도 나에게 명확하지 않은 것 같습니다.

요소만으로 구성된 세트가 왜인지 모르겠어요 $\{0\}$ 평소와 함께 $+$ 과 $×$ 기준을 충족하지 않습니다. $0$ 덧셈 및 곱셈 정체성 모두 역할을합니다.

즉, $G = \{0\}$, 다음

• $∀ g ∈ G, 0+g = g$ 과

• $∀ g ∈ G, 0·g = g$ (이후 $0·0 = 0$ )

마찬가지로, 자체 덧셈 및 곱셈 역입니다. 범주 이론 또는 대수 / 산술 기하학에 대한 몇 가지 추가 속성을 만족시키지 않고 필드 수준에서만 문제가 무엇입니까?

Answer 1

따라서 검토해 보겠습니다. $(F,+,\cdot,0,1)$ 필드라면

• $(F,+,0)$ 아벨 그룹입니다
• $(F \setminus \{0\}, \cdot, 1)$ 아벨 그룹입니다

만약 $0 = 1$ 과 $F$그 요소를 포함하는 싱글 톤입니까? 그런 다음 후자의 특성은 만족되지 않습니다.$F \setminus \{ 0 \} = \varnothing$그러나 모든 그룹은 가정에 의해 비어 있지 않습니다. (즉, 그룹의 공리는 그 안에 요소, 즉 정체성 요소가 있음을 의미하므로 그룹은 항상 비어 있지 않습니다.)

Answer 2

허락하다 $K := \{0\}$. 그때$K \setminus \{0\}$ 여기에 포함 된 식별 요소가 없기 때문에 곱셈 그룹이 될 수 없습니다.