요약 솔루션 설명

Question

나는 문제에 대한 해결책을 읽고 있었고 다음과 같이 말했습니다. $$\sum_{a_1 = 0}^\infty \sum_{a_2 = 0}^\infty \dotsb \sum_{a_7 = 0}^\infty \left( \frac{a_1}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} + \frac{a_2}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} + \dots + \frac{a_7}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} \right) = 7 \sum_{a_1 = 0}^\infty \sum_{a_2 = 0}^\infty \dotsb \sum_{a_7 = 0}^\infty \frac{a_1}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}}.$$나는 이것이 사실 인 이유를 이해하고 있습니다. 아마도 솔직히 말하면 더 직관 일 것입니다. 그러나 나는 완전히 이해하지 못합니다. 아무도 명확히 할 수 있습니까? 미리 감사드립니다.

Answer 1

무슨 일이 일어나고 있는지 보려면 이중 시리즈를 고려하는 것으로 충분합니다. 시리즈가 절대적으로 수렴한다고 가정하면

\begin{align*} \color{blue}{\sum_{a_1=0}^{\infty}}\color{blue}{\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1+a_2}{3^{a_1+a_2}}} &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_2}{3^{a_1+a_2}}\\ &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_2=0}^{\infty}\sum_{a_1=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_2+a_1}}\tag{1}\\ &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}\tag{2}\\ &\,\,\color{blue}{=2\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}} \end{align*}

논평:

• (1)에서 우리는 가장 오른쪽의 이중 시리즈로 이름을 바꿉니다. $a_1$ 와 $a_2$ 과 $a_2$ 와 $a_1$.

• (2)에서 우리는 그것을 재정렬합니다.