유클리드 전파자를 얻기 위해 Klein-Gordon 전파자의 적분 표현식에서 윤곽을 변형 할 수있는 이유는 무엇입니까?
QFT에서 유클리드 상관 함수의 사용을 이해하려고합니다. 나는 내가 생각할 수있는 가장 간단한 예인 Klein-Gordon 방정식의 2 점 전파자에서 어떻게 나타나는지에 대한 문제를 추적했습니다. VP Nair (pdf 57-58 페이지)는 Klein Gordon 방정식에 대한 Feynman 전파자로 시작합니다.
$$ G(x,y) = \lim_{\epsilon\to0^+}\int_{-\infty}^\infty dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2+i\epsilon}e^{-ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}.\tag{4.13} $$
그런 다음 그는 윤곽을 변형하여 $k_0$ 적분은 가상 축으로 올라갑니다.
$$ G(x,y) = \int_{-i\infty}^{i\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2}e^{-ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})},\tag{4.17} $$
어느 시점에서 당신은 Minkowski와 Euclidean 전파자 사이에서 우리가 원하는 관계를 얻지 못하는 변수의 변화입니다. Nair는 "이 변형에는 적분의 극의 교차가 없습니다"라고 말하며, 저는 알 수 있습니다. 복잡한 평면의 오른쪽 위와 왼쪽 아래 사분면을 통해 윤곽을 변형하고 있으므로 극을 피하십시오. 내 문제는 무한대의 1/4 원형 윤곽은 어떻습니까? 윤곽을 변형 할 때 끝점을 고정 된 상태로 두어야합니다.$k_0$가상의 선을 따라 가기 위해 적분 우리는 가상의 끝을 사라지는 실제 선에 연결하는 윤곽을 가져야합니다. 그러나 적분에 요인이 있으므로 오른쪽 상단 및 왼쪽 하단 윤곽선 모두에서 이것이 가능하지 않습니다.$\propto \exp\left(\text{Im}\{k_0\} x_0\right)$, 기호에 따라 $x_0$큰 양의 상상 에서 발산 합니다.$k_0$ 또는 큰 음의 가상 $k_0$?
같은 문제에서 운전하는 방법은 약간 다릅니다. Nair는 관계에 도달
$$ G(x,y) = G_E(x,y)|_{x^4=-ix^0,y^4=-iy^0},\tag{4.18} $$
유클리드 전파자가 정의 된 곳
$$ G_E(x,y) = \int_{\mathbb{R}^4} d^4k\; \frac{1}{\sum_{j=1}^4(k_j)^2+m^2}e^{i\sum_{j=1}^4k_j(x_j-y_j)}.\tag{4.19} $$
여기서 문제는 가상의 값을 입력하면 $x_4-y_4$ 정의 적분으로 들어가면 지수 발산이 $k_4$ 적분이므로 결과가 잘못 정의됩니다.
그래서 여기서 무슨 일이 일어나고 있습니까? 내가 명백한 것을 놓치고 있거나 Nair가 심각한 손 흔들기를하고 있습니까? 그리고 후자의 경우, Osterwalder와 Schrader 논문 만큼 수학적으로 기술적이지 않은 Euclidean과 Minkowski 상관 관계 함수 사이의 관계에 대한 처리 방향을 알려주 시겠습니까? (그것이 내가 다른 곳에서 참조 된 것을 찾을 수 있었던 전부입니다!) 예를 들어 경로 적분으로 표현 된 분할 함수를 살펴봄으로써 더 복잡하고 일반적인 경우에서 관계를 찾으려고했을 때-나는 우연히 발견 한 것 같습니다. 어느 정도 동일한 문제, 지수 인자의이 발산에 대한 것입니다. 따라서 KG 전파자의 파생물을 분류하면 나머지는 제자리에 있어야한다고 생각합니다.
답변
이것은 Nair가 작성한 방식에서 약간 불분명 할 수 있지만 두 가지를 모두 대체 하는 것이 필수적입니다.$k_0=ik_4$ 과 $x^0=ix^4$동시에. 이것은 원래 적분의 수렴 속성을 그대로 유지합니다.
Nair의 규칙에는 시간과 같은 수량에서 공간과 같은 수량으로 변경되기 때문에 벡터 곱셈에서 다른 기호가 표시되기 때문에 추가 기호가 있습니다. $k\cdot x$. 대신 당신은 할 수 있었다$k_0\to ik_0$ 과 $x^0\to -ix^0$, 시간과 같은 수량으로 남겨 둡니다. 이런 식으로하면 그냥 할당하는 것이 분명합니다.$k_0$ 과 $x^0$동일하지만 반대 단계. 전체보다는$\pi/2$, 모든 단계를 사용할 수 있습니다. $k_0\to e^{i\theta}k_0$ 과 $x^0\to e^{-i\theta}x^0$ 그리고 제품이 $k_0 x^0$ 변경되지 않았습니다.
Nair가 이것을 다루고 있는지는 모르겠지만 시간 좌표에 가상 부분을 추가하는 것은 섭동 이론에서 물리적 의미를 갖습니다. 진화 연산자가$e^{-i\hat H x^0}$ 더 이상 단일하지 않습니다 $x^0$가상의 부분이 있습니다. 이 비 단일 진화를 통해 자유 진공에서 상호 작용하는 진공을 자동으로 투영 할 수 있으므로 자유 이론의 성분을 사용하여 상호 작용 이론의 양에 대한 섭동 근사치를 구축 할 수 있습니다. 이 답변에 세부 사항을 쓰려고하지는 않지만 Peskin & Schroder Ch.4, 특히 86-87 및 95 페이지에서 다룹니다.
사용자 kaylimekay의 대답은 내부 제품이 $k_{\mu} x^{\mu}$원칙적으로 윅 로테이션 에서 변하지 않아야합니다 . 참조. 예를 들어 내 Phys.SE는 here , here & here에 답변 합니다 .
불행히도 변형 규칙 $x^0=ix^4$ Ref.1에서는 표준 Wick 변환과 반대입니다. $x^4=ix^0$, 참조. 예 : 이 Phys.SE 게시물.
그것은 Ref. 1 사용$(+,-,-,-)$Minkowski 사인 컨벤션, 참조. 내 Phys.SE 대답은 여기에 있습니다 .
참조 :
- VP Nair QFT : A Modern Perspective , 2004; 4 장, p. 43-46, eqs. (4.13-19).
그 방법 $G(x,y)$ 복소수에 사용할 준비가되었습니다. $x_0,y_0$ 역 푸리에 변환 대신 역 라플라스 변환을 사용하는 것입니다. $$ G_E(x,y) = \int_{-i\infty}^{i\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2}e^{-k_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}, $$ 지수 부분이 포함하는 곳 $-k_0(x_0-y_0)$라플라스 변환에서 볼 수 있습니다. 이렇게하면 심한 발산이 없어야합니다. 실제로 적분은 항상 역 라플라스 변환에서 이동할 수 있습니다.$\int_{\tau-i\infty}^{\tau-i\infty}.$ 그것은 아마도 Klein-Gordon의 커널을 사용하고 우리가 무엇을 찾을 수 있는지 보자고 말하는 것과 같습니다.
대체 $k_0\leftarrow -ik_0$ 위의 방정식에서 $$ G_E(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{1}{k_0^2+\textbf{k}^2+m^2}e^{ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}, $$유클리드 전파자입니다. 이것은 적어도 내가 느끼는 Wick의 로테이션이 어떻게 이루어져야했는지입니다.