유사 카탈로니아 어 솔리드가 두 개 이상 있습니까?
이 질문은 1 년 전에 MSE에서 제기되었습니다. 이 질문에 대한 동기는 여기 , 여기 또는 여기에 있는 다른 MSE 질문 에서 찾을 수 있습니다 .
볼록한 솔리드는 모든 종류의 대칭을 가질 수 있습니다.
플라톤 솔리드는 정점이고면이 전이됩니다. 즉, 어떤 정점도 다른 정점으로 가져올 수있는 3 차원 공간 회전의 하위 그룹이 있습니다 (면에 대해서도 동일 함). 목록은 5 개의 플라톤 고체로 제한됩니다.
면 전이성 (또는 등각 면체) 고체에는 카탈로니아 고체, 쌍 각뿔의 (무한 가족) 및 사다리꼴의 (무한 가족)이 포함됩니다. 추가 제한없이 이러한 고체는 무한한 가족으로 올 수 있습니다. 마름모꼴 십이 면체는 무한한 수의 삼각근 사촌 ( 삼각형 십이 면체 참조) 을가집니다 . 그것은 또한 pyritohedra 라고 불리는 1 개 매개 변수의 십이 면체 군에 적합하다 . 정 십이 면체와 삼면 체 사면체는 tetartoid라고하는 단일 매개 변수 패밀리에 적합합니다 . dipyramids와 trapezohedron은 또한면 수 외에 모든 종류의 변형을 인정합니다.
우리가 요구할 수있는 훨씬 더 약한 대칭이 있습니다. (더 나은 이름이 없기 때문에) 의사 카탈로니아 어라고 부르 자. "센터"수정$C$. 볼록 솔리드는 가상 카탈로니아 어입니다. 각면을 중심으로 회전하여 다른면으로 보낼 수있는 경우$C$ 또는 반사 (누가 비행기가 $C$). 이 회전 (+ 반사)이 전체 솔리드를 보존 할 필요는 없습니다. 카탈로니아 고체가 아닌 그러한 고체의 예 는 gyrate deltoidal icositetrahedron 입니다.
질문 : 유사 카탈로니아 어이지만 카탈로니아 어가 아닌 고체 목록이 있습니까? [더 필사적으로 : 삼각 삼각형 이십 면체 옆에 그런 고체가 있습니까?]
- 솔리드가 볼록하고 모든면이 합동 (볼록한 일 면체 솔리드) 인 마지막 범주가 있습니다. 이전 카테고리와의 차이점은 이제 번역이 허용된다는 것입니다. 특히 솔리드가 이전 범주에 속하는지 확인하려면$C$(그리고 모든 회전과 반사가이 점에 의해 제한된다는 사실)이 중요합니다. 그러한 고체의 예로는 3 중 삼각 프리즘 과 자이로 롱 사각형 다이 피라미드가 있습니다.
답변
이것은 주석의 상세한 버전입니다.
M. 겨울로 지적 다면체의 가족이있다$4k$-청구서에 맞는 얼굴 ($k=5$icosahedra입니다). 다음은 케이스 이미지입니다.$k=4$ 과 $k=6$.
안티 프리즘으로 시작하십시오. $k$-gon (낮은 $k$-gon에는 좌표가있는 정점이 있습니다. $(e^{i \pi (2j+1)k},0)$ 및 상단 정점 $(e^{i \pi 2j k},h)$ 어디 $0 \leq j <k$ 과 $h$실수입니다. 나는 복소수를 사용하고 있습니다.$x$ 과 $y$좌표). 각각에 피라미드를 붙입니다.$k$-gon (피라미드의 끝은 $(0,0,s)$ 과 $(0,0,h -s)$. 중앙$C$ 에있다 $(0,0,\tfrac{h}{2})$.
삼각형이 합동하려면 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $h$ 의 기능으로 $s$ (이것의 $h = \tfrac{ 2\cos(\pi/k)-1+s^2}{2s}$). 만약$k>3$, 각면이에서 같은 거리에 있어야합니다. $C$ (즉 $C$ insphere의 중심이 됨) 값을 고정합니다. $s$ (이것의 $=\sqrt{2\cos(\pi/k)+1}$). 거리를 최소화하는면의 포인트$C$ [차라리, 삼각형의 외주 인 것 같습니다.] $k=4,6$ 과 $7$ [대수학을하기에는 너무 게으르다 $k$]).
거기에서 이러한 고체는 유사 카탈로니아 어 (카탈로니아 어일 수 없음)가됩니다. $k \neq 5$] 피라미드 끝의 꼭지점에 각도가 있기 때문에 $k$ 다른 정점은 5 차를 가지고 있습니다. 따라서 피라미드에서 반 각각으로면을 보내는 글로벌 대칭이 없습니다.
나는 이러한 고체가 비늘 삼각형을 가진 더 큰 가족에 있다고 믿는 경향이 있습니다. (다이 피라미드 대신) 사다리꼴 구조를 기반으로하는 유사한 구조는 재미있을 것입니다 (하지만 지금은 어떻게해야할지 모르겠습니다).
편집 : 케이스 $k=3$단수 :면의 평면이 내부 구에 닿도록 강제하면 사다리꼴 면체 (면이 마름 모형입니다. 즉 피라미드의 삼각형이 반 각기둥의 삼각형과 완벽하게 정렬 됨)가됩니다. 나머지 매개 변수를 더 사용하면 가장 가까운 지점이$C$ 각 [삼각형]면에서 동일하며 실제로 큐브 (!)를 제공합니다.
여기에 또 다른 (그리고 더 간단한) 예가 있습니다 (확실히 가능한 고체의 완전한 목록은 아니지만). 받아$k$-dipyramid (적도 꼭지점은 $xy$-좌표 $k^\text{th}$-단결의 뿌리와 $z=0$). 피라미드의 끝이$(0,0,\pm 1)$. 언제$k$ 짝수 (그래서 $k \geq 4$), 하나의 끝과 단결의 뿌리를 통과하는 평면을 따라이 피라미드를자를 수 있습니다 $\pm 1$. 이것은 정사각형을 따라 다이 피라미드를 자릅니다. 이제 두 조각 중 하나를 90 ° 회전하고 다시 붙여 넣습니다. 생성 된 고체 (이를 gyrate dipyramids라고 칭해야 함)는 필요한 조건을 충족합니다.
이것이 카탈로니아 고체가 아닌지 확인하려면 ( $k=4$, 그저 옥타 에이 더를 취해 잘라서 다시 조립하는 것입니다.) 두 가지 유형의면이 있습니다 : 접착이 발생한 사각형에 닿는면과 다른면이 있습니다.
다음은 몇 가지 사진입니다. $k=6$ 과 $k=8$.
