Qual é o valor máximo possível de $E[X_1 X_2 X_3]$?

Dec 15 2020

Presumir $X_1,X_2,X_3$ são variáveis ​​aleatórias discretas definidas em um espaço de probabilidade comum $\Omega$ e tendo valores em $\{-1,1\}$. Além disso, assuma que$E[X_1]=E[X_2]=E[X_3]=E[X_1 X_2]=E[X_2 X_3]=E[X_3 X_1]=0$. Diante disso, qual é o valor máximo possível de$E[X_1 X_2 X_3]$?

É fácil ver isso $P(X_i=\pm 1)=P(X_i X_j = \pm 1)={1 \over 2}$ para cada $i,j \in I_3 (i \neq j)$. Mas como posso continuar? Qualquer ajuda seria apreciada.

Respostas

5 leonbloy Dec 15 2020 at 22:46

Deixei $a=E[X_1 X_2 X_3]$

Claro que temos $-1 \le a \le 1$

Seguindo esta parametrização , podemos escrever a probabilidade conjunta como

$$P(x_1,x_2,x_3)=\frac18( a \, x_1 x_2 x_3 +1)$$ o que dá restrições adicionais $$0\le P(x_1,x_2,x_3)\le 1$$ ou $0\le \frac18 (1-a) \le 1$ e $0\le \frac18 (1+a) \le 1$

Mas isso é verificado pelo candidato original para o máximo ($a=1$)

Portanto, o máximo é $E[X_1 X_2 X_3]=1$ que é alcançado por

$$P(x_1,x_2,x_3) = \frac18( x_1 x_2 x_3 +1)= \begin{cases} \frac14 & \text{if } x_1 x_2 x_3 = 1 \\ 0 &\text{if } x_1 x_2 x_3 = -1 \end{cases}$$

5 fesman Dec 15 2020 at 22:50

Que haja quatro estados, cada um com probabilidade $1 \over 4$: $(X_1,X_2,X_3)\in \{(1,-1,-1),(1,1,1),(-1,-1,1),(-1,1,-1)\}$.

Você pode verificar se as condições são válidas. Contudo,

$$E(X_1X_2X_3)=1,$$

que é claramente o valor mais alto que esta expressão pode assumir.