$a$ и $b$ ненулевые неравные действительные числа и $\frac{a-b}{a}=\frac{b}{a-b}$, какова сумма всех возможных значений для $\frac{a}{b}$?

Question

$a$ и $b$ ненулевые неравные действительные числа и $\frac{a-b}{a}=\frac{b}{a-b}$, какова сумма всех возможных значений для $\frac{a}{b}$?

---

Я пробовал перекрестное умножение (которое работает с $a\neq b$), но все, что я получил, было $a^2-3ab+b^2=0$, который я не могу понять, как использовать в своих интересах. Помимо этого, я могу думать только о раскрытии возможностей, но, вероятно, я что-то пропущу, если сделаю это. Кто-нибудь может помочь?

Благодаря!

Answer 1

Подсказка: возьмите дроби с обеих сторон и разделите верхнюю и нижнюю на$b$: $$ \frac{a-b}{a} = \frac{b}{a-b} \implies \frac{(a/b)-(b/b)}{a/b} = \frac{(b/b)}{(a/b)-(b/b)}\\ \implies \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{x - 1}, $$ где $x = a/b$.

В качестве альтернативы, взяв расширенное уравнение $a^2-3ab+b^2=0$ и разделив обе стороны на $b^2$ дает тот же результат.