$A$ вещественная матрица и для некоторых $k\geq 2,A^{k}$ похожа на ортогональную матрицу, как доказать $A$ тоже похоже на ортогональную матрицу?

Aug 17 2020

Моя попытка.

$A^{k}=POP^{-1}$.Вот $O$ - ортогональная матрица. Я хочу найти ортогональную матрицу. $O_{1}$ и $O_{1}^{k}=O.$ Я думаю, что это можно сделать, потому что обратимая матрица всегда имеет `` квадратный корень ''. Но даже если бы это можно было сделать и$A^{k}\sim O_{1}^{k}.$Это все равно не даст никакой информации о $A$. Итак, как использовать информацию, предоставленную какой-то канонической формой $A^{k}$ найти информацию о $A$?

Дальнейшая попытка.

Думаю, мне стоит подумать над этой проблемой на $\mathbb{C}.$Так $O$ - специальная комплексная нормальная матрица, поэтому по спектральной теореме $O$ диагонализируется на $\mathbb{C}$.Это означает $A^{k}$ диагонализуема и ее модуль собственных значений равен 1, так что и A. $A\sim M=diag\{e^{i\theta_{1}},\cdots,e^{i\theta_{s}},\lambda_{s+1},\cdots,\lambda_{n}\}.$ Ясно, что M подобна ортогональной матрице на $\mathbb{C}.$

Это доказательство довольно странно, поскольку мы часто рассматриваем только $\mathbb{R}$ когда мы говорим об ортогональной матрице, и сама проблема не определяет поле, которое мы используем.

Есть ли лучшее решение？

Ответы

1 user8675309 Aug 17 2020 at 05:50

Я предполагаю $P$является вещественной матрицей. (Если требуется$\mathbb C$ приведенное ниже можно немного изменить, чтобы вместо этого рассматривать эрмитовские формы.)

Рассмотрим координатное векторное пространство, заданное формулой $V=\mathbb R^n$ и линейный оператор на этом пространстве, заданный формулой $T:= P^{-1}AP$. Достаточно показать, что$T$аналогична реальной ортогональной матрице. поскольку$T^k$ неособое, так же $T$.

С участием $\langle, \rangle$обозначая стандартный реальный внутренний продукт, мы определяем следующую настраиваемую симметричную билинейную форму . Для$v,v' \in V$

$\langle v, v' \rangle_c := \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$.
Эта форма сразу становится положительно определенной. Дальнейшего уведомления

$\langle Tv, Tv' \rangle_c $
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle $
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=0}^{k-2}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle T^{k}v, T^{k}v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=1}^{k-1}\langle T^{j}v, T^{j}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle v, v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$
$=\langle v,v' \rangle_c $

Из этого следует $T$ является ортогональным оператором по отношению к пользовательской билинейной форме.

Теперь вычислите изображение $T$ по хорошо подобранной основе
$T\mathbf B=\mathbf BQ$
где $\mathbf B$выбирается как ортонормированный базис по отношению к пользовательской билинейной форме и$Q$это некоторая матрица. Поскольку наше векторное пространство$V=\mathbb R^n$отметим, что $\mathbf B$ может также интерпретироваться как обратимая матрица.

$\langle v, v' \rangle_c = \langle Tv, Tv' \rangle_c \longrightarrow$ $Q$ортогонален по отношению к стандартному внутреннему произведению .

в заключение
$T =T\big(\mathbf B\mathbf B^{-1}\big) = \big(T\mathbf B\big)\mathbf B^{-1}= \big(\mathbf BQ\big)\mathbf B^{-1}= \mathbf BQ\mathbf B^{-1}$

таким образом $T$ похожа на ортогональную матрицу

подробное обоснование того, что $Q^TQ = I$:
$v = \mathbf B\mathbf x$ и $v' =\mathbf B y$;
$\mathbf w = Q\mathbf x$ и $\mathbf z = Q\mathbf y$
$\langle T v, Tv'\rangle_c$
$=\langle T\mathbf B\mathbf x\mathbf , T\mathbf B\mathbf y\rangle_c$
$=\langle \mathbf B (Q\mathbf x), \mathbf B(Q\mathbf y)\rangle_c$
$=\langle \mathbf B \mathbf w, \mathbf B\mathbf z\rangle_c$
$=\langle \sum_{k=1}^n \mathbf b_k w_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\langle \mathbf b_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\sum_{i=1}^n z_i \langle \mathbf b_k , \mathbf b_i \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k\langle \mathbf b_k , \mathbf b_k \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k$
$=\mathbf w^T\mathbf z$
$=\mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
и практически идентичным расчетом $\langle v, v'\rangle_c = \mathbf x^T \mathbf y\longrightarrow \mathbf x^T \mathbf y = \mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
где следует импликация, потому что $\langle Tv, Tv'\rangle_c = \langle v, v'\rangle_c$
Поскольку сказанное выше верно для выбора произвольных $\mathbf x$ и $\mathbf y$ мы заключаем, что $Q$ортогонален по отношению к стандартному внутреннему произведению .

Примечание
. Вышеупомянутое также дает доказательство того, почему$M^k = I$ подразумевает, что $M$ диагонализируется над $\mathbb C$, так как $I$это просто частный случай реальной ортогональной матрицы. Выше показано, что$M$ похожа на вещественную ортогональную матрицу, которая по спектральной теореме похожа на диагональную матрицу (над $\mathbb C$). Стандартное доказательство этого результата, которое вы увидите на этом сайте, использует аргумент минимального полинома, хотя минимальный полином, похоже, не применим также к вопросу OP.